Задачи › Насыщенный пар

Пар под поршнем

  1. Пар под поршнем

    Ведомственная 2021/22, 11 кл.
    8/10

    В теплоизолированный сосуд, закрытый теплоизолированным поршнем, помещена смесь водяного пара и воды при температуре \(T\) кельвинов (масса воды много меньше массы пара). Поршень сместили, в результате объём системы уменьшился, температура пара возросла на \(\Delta T\), причём \(\Delta T \ll T\), а часть воды испарилась. Найти отношение массы испарившейся воды к массе пара в исходном состоянии. Удельная теплота испарения при температуре \(T\) равна \(\lambda\) Дж/кг, пар можно считать идеальным газом с молярной теплоёмкостью при постоянном объёме, равной \(C_V\) Дж/(моль·К). Теплоёмкостью воды пренебречь. Также известно, что малые относительные изменения температуры \(\Delta T / T\) связаны с относительными изменениями давления насыщенного пара \(\Delta p / p\) соотношением \(\dfrac{\Delta p}{p} = k\,\dfrac{\Delta T}{T}\), где \(k\) — положительная константа. Молярная масса воды \(\mu\) кг/моль.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Запишите уравнение состояния пара и первое начало для адиабатического сжатия: работа внешних сил идёт на нагрев пара и на испарение воды. Связь \(\Delta p\) и \(\Delta T\) дана в условии.

    Ответ

    \(\eta = \dfrac{\Delta m}{m} = \dfrac{(k-1)R - C_V}{\mu\lambda + RT}\,\Delta T\), где \(\Delta m\) — масса испарившейся воды, \(m\) — масса пара в исходном состоянии. При \(C_V = 3R\) это \(\dfrac{(k-4)R}{\mu\lambda + RT}\,\Delta T \approx 0{,}0024\).

    Решение

    Состояние пара: \(pV = \dfrac{m}{\mu} R T\). Для малых изменений: \[p\,\Delta V + \Delta p\cdot V = \frac{\Delta m}{\mu} R T + \frac{m}{\mu} R\,\Delta T.\] При адиабатическом сжатии работа внешних сил \(-p\,\Delta V\) идёт на приращение внутренней энергии пара \(\dfrac{m}{\mu} C_V \Delta T\) и на испарение воды массой \(\Delta m\) (энергия \(\lambda\,\Delta m\)): \[-p\,\Delta V = \frac{m}{\mu} C_V\,\Delta T + \lambda\,\Delta m.\] Условие связи давления и температуры: \(\dfrac{\Delta p}{p} = k\dfrac{\Delta T}{T}\). Решая систему, получаем ответ.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх