Задачи › ЭДС движения: рельсы, перемычки, рамки

Магнитар и крышка иллюминатора

  1. Магнитар и крышка иллюминатора

    Ведомственная 2021/22, 11 кл.
    6/10

    Во вселенной существуют нейтронные звёзды, у которых масса немногим больше массы Солнца, а диаметр около 20 км. Они состоят в основном из нейтронов. У некоторых из них есть очень сильное магнитное поле с индукцией, достигающей \(10^{11}\) Тл. Их называют магнитарами. Когда космический корабль пролетал вблизи магнитара, из-за столкновения с небольшим метеоритом оторвалась защитная крышка иллюминатора. Оцените ускорение, с которым будет падать крышка на звезду после отделения в тот момент, когда расстояние от неё до звезды \(R = 1\,000\,000\) км, а индукция магнитного поля звезды \(B = 5\cdot10^{3}\) Тл. Масса звезды \(M = 2{,}8\cdot10^{30}\) кг, электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}\) Ф/м, гравитационная постоянная \(G = 6{,}67\cdot10^{-11}\) м\(^3\)·с\(^{-2}\)·кг\(^{-1}\). Силовые линии магнитного поля перпендикулярны направлению на центр звезды. Крышка металлическая и плоская, \(V = 1\) м\(^3\), и массу \(m = 10\) кг. (Считайте, что плоскость крышки параллельна силовым линиям поля.)

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Движущаяся крышка пересекает магнитное поле, в ней возникает разность потенциалов, как в конденсаторе, и появляется ток. Сила Ампера от этого тока пропорциональна ускорению крышки.

    Ответ

    \(a = \dfrac{GM}{R^2\left(1 + \dfrac{\varepsilon_0 S B^2 l}{m}\right)}\), где \(S\) — площадь крышки, \(l\) — её толщина.

    Решение

    Заряды в металлической крышке при движении смещаются так, что возникает электрическое поле \(E = vB\) и разность потенциалов \(U = vBl\). Крышка с площадью \(S\) и толщиной \(l\) эквивалентна плоскому конденсатору с зарядом \(q = \varepsilon_0 S U / l = \varepsilon_0 S v B\). При ускорении \(a\) ток \(I = \dfrac{\Delta q}{\Delta t} = \varepsilon_0 S B a\), на проводник с током действует сила Ампера \(F = I B l = \varepsilon_0 S B^2 l\, a\), направленная против ускорения.

    Сила тяготения звезды на крышку \(G\dfrac{Mm}{R^2}\). Второй закон Ньютона: \[m a = G\frac{Mm}{R^2} - \varepsilon_0 S B^2 l\, a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{GM}{R^2\left(1 + \varepsilon_0 S B^2 l / m\right)}.\]

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх