Дрон над нагретым диском

Молекулы воздуха, отражаясь от нагретой нижней поверхности, передают ей и уносят от неё разный импульс. Среднеквадратичная скорость молекул зависит от температуры поверхности, от которой они отразились.

На диск действуют сила тяжести, подъёмная сила \(F_1\) снизу и сила \(F_2\) сверху (см. рисунок).

Молекулы после отражения от нижней поверхности имеют среднеквадратичную скорость \(v_{\text{ср.кв.},2} = \sqrt{3kT/m_0}\), после отражения от верхней \(v_{\text{ср.кв.},1} = \sqrt{3kT_0/m_0}\). С учётом равноправия направлений проекция на ось \(y\) даёт \(v_{y,2}^2 = kT/m_0\) и \(v_{y,1}^2 = kT_0/m_0\). Изменение импульса по оси \(y\) на одно соударение: \(\Delta p_y = m_0\left(\sqrt{kT/m_0} - \sqrt{kT_0/m_0}\right)\).

За время \(\Delta t\) с площадкой \(S\) сталкиваются молекулы из слоя \(\Delta l = v_{y,1}\Delta t\) с концентрацией \(n = P/(kT_0)\), то есть \(N = n S\,\Delta l\). Подъёмная сила на площадь \(S\): \[\left|\vec F_1 - \vec F_2\right|_y = \frac{N\,\Delta p_y}{\Delta t} = n S\, m_0\, \sqrt{\frac{kT_0}{m_0}}\left(\sqrt{\frac{kT}{m_0}} - \sqrt{\frac{kT_0}{m_0}}\right) = S P\left(\sqrt{\frac{T}{T_0}} - 1\right).\] Для подъёма дрона нужно \(PS\left(\sqrt{T/T_0} - 1\right) \ge mg\). Для диска \(S = \pi d^2/4\): \[P\,\frac{\pi d^2}{4}\left(\sqrt{\frac{T}{T_0}} - 1\right) \ge mg \quad\Rightarrow\quad T \ge T_0\left(\frac{4mg}{P\pi d^2} + 1\right)^2.\]