Коробка с полосками

Угол наклона, при котором брусок начинает скользить, связан с коэффициентами трения на обоих концах бруска. Запишите условия равновесия (силы и моменты) в граничном случае для обеих полосок и выразите разность коэффициентов через углы.

1. а) Для определения угла наклона плоскости ставим брусок на миллиметровую бумагу и измеряем по ней расстояние \(x\) от бруска до вершины угла, образуемого пластиной с горизонталью; тогда \(\operatorname{tg}\alpha = h/x\), где \(h\) — высота бруска (постоянная величина). При фиксированной высоте наклон однозначно задаётся значением \(x\).

б) Если выполнить предложенные действия, обнаружится, что при наждачной полоске у нижнего угла бруска угол наклона плоскости, приводящий к проскальзыванию, заметно больше, чем в случае, когда она сверху.

2. а) Рассмотрим начало проскальзывания бруска. Обозначим коэффициенты трения у верхней и нижней полоски \(\mu_1\) и \(\mu_2\), продольный и поперечный размеры бруска \(H\) и \(L\), массу бруска \(m\), ускорение свободного падения \(g\). (Считаем, что \(\mu_2\) относится к наждачной бумаге, а \(\mu_1\) — к гладкой поверхности изоляционной ленты.) Введём силы нормального давления \(N_1\) и \(N_2\) в точках 1 и 2 (верхняя и нижняя полоски). В граничном случае силы трения равны \(\mu_1N_1\) и \(\mu_2N_2\).

Из равновесия сил по нормали к пластине, вдоль неё и из равенства моментов сил относительно центра масс (или средней точки нижней грани): \[N_1 + N_2 = mg\cos\alpha, \qquad \mu_1N_1 + \mu_2N_2 = mg\sin\alpha, \qquad (N_2 - N_1)\frac{L}{2} = (\mu_1N_1 + \mu_2N_2)\frac{H}{2}.\] Отсюда \(N_1 = \dfrac{mg}{2}\left(\cos\alpha - \dfrac{H}{L}\sin\alpha\right)\) и \(N_2 = \dfrac{mg}{2}\left(\cos\alpha + \dfrac{H}{L}\sin\alpha\right)\). Подставив их во второе уравнение, получим соотношение, связывающее коэффициенты трения с критическим углом: \[(\mu_1 + \mu_2) + (\mu_2 - \mu_1)\frac{H}{L}\operatorname{tg}\alpha = 2\operatorname{tg}\alpha.\] При полоске с \(\mu_1\) ниже, обозначив критический угол \(\beta\), получим \[(\mu_1 + \mu_2) - (\mu_2 - \mu_1)\frac{H}{L}\operatorname{tg}\beta = 2\operatorname{tg}\beta.\] Отсюда находим \[\mu_1 + \mu_2 = \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta,\] а для искомой разности коэффициентов трения \[\mu_2 - \mu_1 = \frac{2L\,(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta)}{H\,(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}.\]

б) \(H\) и \(L\) измеряются с помощью миллиметровой бумаги. Тангенсы углов выражаются через \(h\) и \(x\): если расстояния от бруска до вершины угла в двух случаях равны \(x_1\) и \(x_2\), то \(\operatorname{tg}\alpha = h/x_1\), \(\operatorname{tg}\beta = h/x_2\). Тогда \[\mu_2 - \mu_1 = \frac{2L\,(x_2 - x_1)}{H\,(x_2 + x_1)},\] в это выражение \(h\) не входит: для нахождения разности коэффициентов трения достаточно определить лишь \(x_1\) и \(x_2\).

3. а) Измерения \(L\) и \(H\) достаточно просты и проводятся с ошибкой не больше 0,5 мм; для \(H\) относительная погрешность не больше 2%. Достаточно однократного аккуратного измерения.

б) Измерения расстояния \(x\) менее надёжны: трудно уловить момент начала проскальзывания, и брусок может зацепиться за локальный дефект поверхности бумаги, покрывающей наклонную плоскость. Поэтому сначала грубо определяем \(x\) с избытком и недостатком, постепенно сужая границы. Влияние локальных дефектов можно устранить, помещая брусок на разные места плоскости или слегка постукивая по ней. При таких предосторожностях границы сужаются до 1–2 мм; при \(x_2 - x_1 \approx 20\text{–}30\) мм это даёт относительную погрешность меньше 10%. Троекратное попадание в этот диапазон означает, что воспроизводимость измерений достаточна.

в) Основной вклад в погрешность определения \(\mu_2 - \mu_1\) вносит погрешность \((x_1 - x_2)\). Организаторам целесообразно провести независимые измерения коэффициентов трения \(\mu_2\) и \(\mu_1\) по отдельности: у составителей такие измерения согласовывались лучше, чем 10%.