Задачи › Теплопроводность, закон охлаждения Ньютона

Исследование зависимости температуры воды от времени

  1. Исследование зависимости температуры воды от времени

    ВсОШ 2014/15, 11 кл.
    5/10

    В задачах на теплообмен обычно предполагается, что количество теплоты, отдаваемое горячим телом в единицу времени, прямо пропорционально разности температур между горячим и холодным телом. Следовательно, можно записать следующее выражение: \[C\,\Delta T = \alpha\,(T_{\text{в}} - T_{\text{к}})\,\Delta t,\] где \(C\) — теплоёмкость воды, \(\Delta T\) — изменение температуры воды за малое время \(\Delta t\), \(T_{\text{в}}\) — температура воды, \(T_{\text{к}}\) — температура окружающей среды, \(\alpha\) — коэффициент пропорциональности.

    Путём графической обработки полученных экспериментальных данных определите величину коэффициента \(\alpha\) для 5–6 различных значений температуры воды в стакане, постройте график зависимости \(\alpha\) от разности температур \((T_{\text{в}} - T_{\text{к}})\) и сделайте вывод о справедливости предположения, сформулированного выше.

    Масса налитой воды \(M_{\text{в}} = 150\text{ г}\), удельная теплоёмкость воды \(c_{\text{в}} = 4200\text{ Дж/(кг·град)}\). Для наливания определённого количества горячей воды в стакан определите сначала требуемый уровень с помощью мерного стакана и холодной воды, сделайте метку в стакане и попросите организатора налить горячей воды до необходимого уровня. Теплоёмкостью алюминиевого стакана в условиях эксперимента можно пренебречь. Температура в помещении определяется электронным термометром и выводится на его дисплей в непрерывном режиме.

    Оборудование: алюминиевый стакан с горячей водой, крышка к стакану, мерный стакан, термометр, секундомер, комнатный термометр (общий на аудиторию).

    Внимание!!! При работе с горячей водой соблюдать предельную осторожность и проявить максимальное внимание с целью избежать опрокидывания стакана с водой и стараться не разбить термометр!!!

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Запишите закон теплообмена для малого интервала времени и выразите \(\alpha\) через производную \(\Delta T/\Delta t\), которую найдите по графику \(T_{\text{в}}(t)\).

    Ответ

    Среднее значение \(\alpha \approx 0{,}25\text{ Дж/(град·с)}\); при \(T_{\text{в}} \le 80\,^\circ\text{C}\) \(\alpha\) постоянна с точностью 16–20%, т.е. предположение справедливо.

    Решение

    Пусть количество теплоты, отдаваемое водой и стаканом за время \(\Delta t\), равно \(Q\), а содержимое стакана при температуре \(T_{\text{в}}\) за это время остыло на \(\Delta T\) градусов. Тогда, согласно условию задачи, \[(C_{\text{в}}M_{\text{в}} + C_{\text{с}}M_{\text{с}})\,\Delta T = \alpha\,(T_{\text{в}} - T_{\text{к}})\,\Delta t.\] Обозначим \(C_0 = C_{\text{в}}M_{\text{в}} + C_{\text{с}}M_{\text{с}}\). При подстановке численных значений из условия получаем \(C_0 = 443\text{ Дж/град}\). Тогда \[\alpha = \frac{C_0}{T_{\text{в}} - T_{\text{к}}}\cdot\frac{\Delta T}{\Delta t}.\] Здесь \(\Delta T/\Delta t\) — производная функции \(T_{\text{в}}(t)\). Её находят по экспериментальным данным: строят график \(T_{\text{в}}(t)\) и определяют тангенс угла наклона касательной в точке, соответствующей заданному значению \(T_{\text{в}}\). Повторив операцию при разных \(T_{\text{в}}\), по формуле вычисляют \(\alpha\) для различных значений \(T_{\text{в}}\).

    В официальном решении результаты приведены для восьми значений \(T_{\text{в}}\): при \(T_{\text{в}} = 77\,^\circ\text{C}\) \(\alpha = 0{,}29\), при \(65\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}27\), при \(60\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}26\), при \(55\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}24\), при \(50\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}22\), при \(45\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}22\), при \(40\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}24\), при \(36\,^\circ\text{C}\) — \(0{,}25\) (все \(\alpha\) в \(\text{Дж/(град·с)}\)).

    Если считать, что среднее значение \(\alpha = 0{,}25\text{ Дж/(град·с)}\), то максимальное отклонение \(\alpha\) от этого значения (при \(T_{\text{в}} = 77\,^\circ\text{C}\)) составляет 16%. Таким образом, \(\alpha\) вплоть до \(80\,^\circ\text{C}\) остаётся величиной постоянной с точностью 16–20%. Значительную роль в ручной обработке играет субъективный фактор (построение графика и проведение касательной зависят от аккуратности исполнителя).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх