Задачи › Устойчивость равновесия

LEGO

  1. LEGO

    МОШ 2022/23, 7 кл.
    6/10

    Ребёнок хочет собрать устойчивую башню, использовав минимальное количество LEGO кирпичиков размером \(2 \times 2\) (см. рисунок ниже). Детали он ставит либо строго одну на другую, чтобы все штырьки нижнего кирпичика вошли в соответствующие отверстия верхнего кирпичика, либо сдвигает из этого положения вправо или влево на расстояние, равное половине длины детали. На каждом ярусе башни содержится не более одной детали конструктора. Если линия действия результирующей силы тяжести попадает на границу основания башни, то она опрокидывается. Детали хорошо крепятся друг к другу.

    Рисунок

    1. (3 балла) Какое количество LEGO кирпичиков использовал ребёнок, если он построил устойчивую башню, при этом оказалось, что верхняя и нижняя детали сдвинуты друг относительно друга по горизонтали на расстояние, равное удвоенной длине кирпичика?

    2. (4 балла) На каком максимально возможном расстоянии друг от друга по горизонтали могут находиться верхняя и нижняя детали, если ребёнок использовал 11 кирпичиков?

    В качестве ответов на вопросы приведите схематичные рисунки башен с краткими пояснениями.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Чтобы сдвиг был нужным при наименьшем числе кирпичиков, сначала кладите их со сдвигом в одну сторону, а затем в другую, создавая противовес. Устойчивость проверяйте по моментам сил относительно края основания.

    Ответ

    1) 9 кирпичиков (схема — на рисунке в решении);  2) \(2{,}5a\), где \(a\) — длина кирпичика (схема — на рисунке в решении).

    Решение

    Чтобы построить башню с заданным сдвигом верхней и нижней деталей, использовав при этом минимальное количество кирпичиков, ребёнку сначала надо укладывать их со сдвигом влево, создав максимально возможный противовес, а потом со сдвигом вправо (или наоборот).

    4a. На рисунке представлена башня, содержащая 9 кубиков, у которой верхняя и нижняя детали сдвинуты друг относительно друга по горизонтали на расстояние, равное удвоенной длине кирпичика.

    Рисунок

    Проверим, является ли она устойчивой. Пусть \(a\) — это длина детали. Момент сил, удерживающих башню в устойчивом положении, равен \[2mg\cdot\frac{a}{2} + 2mg\cdot a + mg\cdot\frac{3a}{2} = \frac{9}{2}\,mga.\] Момент сил, опрокидывающих башню, равен \[mg\cdot\frac{a}{2} + mg\cdot a + mg\cdot\frac{3a}{2} = 3\,mga.\] Следовательно, башня устойчива.

    4b. На втором рисунке представлена башня, содержащая 11 кубиков, у которой верхняя и нижняя детали сдвинуты друг относительно друга по горизонтали на расстояние \(2{,}5a\).

    Рисунок

    Эта башня является устойчивой, поскольку момент сил, удерживающих башню от падения, равен \[2mg\cdot\frac{a}{2} + 2mg\cdot a + 2mg\cdot\frac{3a}{2} = 6\,mga,\] а момент сил, опрокидывающих башню, равен \[mg\cdot\frac{a}{2} + mg\cdot a + mg\cdot\frac{3a}{2} + mg\cdot 2a = 5\,mga.\] Другие конфигурации башен из 11 кубиков дают либо меньший сдвиг верхней и нижней деталей, либо являются неустойчивыми.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх