О бусинке и грузе

На гладкое проволочное кольцо радиуса \(R\), закреплённое в вертикальной плоскости, насажена маленькая массивная бусинка массой \(m\). К бусинке прикреплён один конец тонкой нерастяжимой невесомой нити (см. рис. 5). Другой её конец пропущен через маленький идеальный блок и прикреплён к грузу массой \(km\), где \(k\) — постоянный коэффициент. Блок закреплён в точке, лежащей на горизонтальном диаметре кольца. Положение бусинки на кольце характеризуется углом \(\varphi\) между направлениями на блок и на бусинку из центра кольца.

1. Пусть \(k = 1/\sqrt{3}\). Определите угол (или углы), соответствующий положению равновесия бусинки.

В начальный момент времени бусинке, находящейся в положении устойчивого равновесия, сообщают ударом скорость \(v\), направленную вдоль кольца в сторону от блока. При каком минимальном значении скорости \(v = v_{\min}\) бусинка сможет достичь блока, двигаясь всё время в одну сторону (по часовой стрелке)?

2. При каких значениях параметра \(k\) на кольце отсутствуют точки, в которых бусинка могла бы находиться в состоянии устойчивого равновесия?

3. Пусть теперь между бусинкой и проволокой есть трение, а коэффициент трения зависит от угла как \(\mu = \operatorname{tg}(\varphi/2)\). Существует ли для случая равных масс (\(k = 1\)) положение устойчивого равновесия, при котором \(\varphi \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)\)? Найдите это положение (или положения) или докажите, что их не существует.