Робот и пружинная пушка
Робот неподвижно висит в космическом пространстве в точке \(A\) около космического корабля. Масса робота вместе с его оснасткой равна \(M\). Для того чтобы переместиться из точки \(A\) в точку \(B\), он с помощью пружинной пушки выстреливает шариком массой \(m\). Для того чтобы прекратить движение в точке \(B\), он через время \(\tau\) выстреливает таким же шариком в противоположном направлении. Фиксация робота в точке \(B\) оказалась неполной, и он со временем её покинул. Через какое время после второго выстрела робот вернётся в точку \(A\)? Энергия выстрелов одинаковая.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите скорость робота после первого выстрела из законов сохранения, затем рассмотрите второй выстрел в системе отсчёта, где робот покоится, но его масса уже \(M-m\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(t=\dfrac{\tau\sqrt{M-2m}}{\sqrt M-\sqrt{M-2m}}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПосле первого выстрела скорость \(u\) робота определяется из законов сохранения импульса \(mv+(M-m)u=0\) и энергии \(\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{(M-m)u^2}{2}=E\), где \(v\) — скорость шарика, \(E\) — энергия выстрела. Решение: \(u=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\sqrt{M(M-m)}}\).
В системе отсчёта, движущейся со скоростью \(u\), второй выстрел отличается от первого направлением и уменьшившейся с \(M\) до \(M-m\) массой робота. Скорость робота в этой системе после второго выстрела \(u_1=-\dfrac{\sqrt{2mE}}{\sqrt{(M-m)(M-2m)}}\). В системе отсчёта корабля скорость робота \(u_2=u+u_1\).
Расстояние от \(A\) до \(B\): \(S=u\tau\). Обратный путь робот проделает за время \(t=-\dfrac S{u_2}=-\dfrac{\tau}{1+u_1/u}\).
Отсюда \(t=\dfrac{\tau\sqrt{M-2m}}{\sqrt M-\sqrt{M-2m}}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Тянули и отпустили Савченко, №2.2.2
- Разворот корабля Савченко, №2.2.3
- Задача 2.2.4 Савченко, №2.2.4
- Задача 2.2.5 Савченко, №2.2.5
- Взвешивание двойной звезды Савченко, №2.2.7
- Бег по резиновой ленте Савченко, №2.2.8