Дифракция на круглом отверстии

Решение

A1. Для измерения диаметров игл воспользуемся методом прокатывания (рис. 4).

Рис. 1. Измерение диаметра иглы

Для этого сделаем флажок из малярного скотча и приклеим его к пластиковой части иглы. Положим иглу на миллиметровую бумагу и прокатим ее по бумаге линейкой, подсчитав количество оборотов \(n\), которое сделает игла. Определим расстояние \(L\), на которое сместится игла по бумаге. Диаметр иглы \(d\) может найден по следующей формуле:

\[d=\frac{L}{\pi n} \qquad(3)\tag{3}\]Для повышения точности величину \(L\) измерим три раза для каждой иглы (в таблице – величины \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\)).

измерения длин оценим как \(\sigma_\text{случ}=1~ мм\). Тогда погрешность измерения диаметров иголок будет приблизительно одинаковой и равной:\[\sigma_d \approx \dfrac{\sigma_x +\sigma_{случ}}{\pi n}=0.02~\text{мм}. \qquad(4)\tag{4}\]Для сравнения проведём контрольные измерения игл с помощью микрометра (погрешность прибора \(0.01~ мм\)).

Ответ:

A2. Максимальная длина хода пучка (расстояние, которое свет от лазера до экрана), которую можно достичь на столе без применения сторонних устройств, примерно равна диагонали стола (\(\approx 130~ см\)). При такой длине возможно измерить диаметр \(D\) только для игл малых диаметров, при этом измерения будут иметь низкую точность. Для повышения точности используем зеркала для увеличения длины хода пучка (рис. 2). Таким образом можно добиться многократного прохождения пучком света расстояния между зеркалами за счет отражения от них. Для подсчета длины хода пучка в этом случае необходимо проследить, сколько раз пучок света отражался от зеркал, прежде чем попасть на экран.

Ответ:

Рис. 2. Схема хода длины пучка

A3. Соберем установку для наблюдения дифракции описанную в условии, увеличив длину хода пучка при помощи зеркал.

A4. Угол дифракции (в градусах) можно рассчитать как:

Ответ:

\[\varphi=\frac{D-d}{2\pi l}\cdot 360^\circ \qquad(5) \tag{5}\]

A5. Проведем измерения диаметра центрального пятна дифракционной картины и длины хода пучка для разных размеров диафрагмы.

Исходя из схемы (рис. 2), считая углы переотражения пучка от зеркал пренебрежимо малыми, рассчитаем общий путь пучка:\[L=a+3b+c, \qquad(6)\tag{6}\]где \(a\), \(b\), \(c\) – расстояния, указанные на рисунке.

Центральное пятно на экране может получиться овальной формы, если отверстие в скотче не круглое. Тогда будем измерять размеры пятна по вертикали (величина \(V\)) и горизонтали (величина \(H\)). Диаметр \(D\) рассчитаем как среднее арифметическое \(V\) и \(H\).

Рассчитаем для каждой диафрагмы угол дифракции и занесем данные в таблицу.

Ответ:

Погрешность измерения длин \(a\), \(b\), \(c\) примем равной \(\sigma_{abc}=0.5~ см\), погрешность измерения диаметра пятна \(D\) оценим как модуль полуразности вертикального и горизонтального размеров пятна, прибавив приборную погрешность линейки: \[\sigma_D=\frac{|H-V|}{2}+\sigma_х. \qquad(7)\tag{7}\] Относительная погрешность угла дифракции приблизительно равна относительной погрешности диаметра пятна, так как остальные величины дают существенно меньший вклад в нее. Тогда для абсолютной погрешности угла дифракции: \[\sigma_\varphi=\varphi\,\frac{\sigma_D}{D}. \qquad(8)\tag{8}\] Видно, что с увеличением диаметра диафрагмы угол дифракции уменьшается. Предположим, что зависимость является обратной пропорциональностью. Рассчитаем величины обратных диаметров игл и построим график зависимости \(\varphi(1/d)\).

Ответ:

A6. Видно, что график зависимости угла дифракции от обратного диаметра диафрагмы можно описать прямой пропорциональностью. Отсюда сделаем вывод, что искомая степень зависимости

Ответ:

\[n=-1\]

Рассчитаем угловой коэффициент зависимости

Ответ:

\[{A=(0.07\pm 0.01) \ ^\circ\cdot мм}\]

Теоретическое значение составляет:

\[A_{theor}=\frac{360^\circ}{2\pi}\cdot2\cdot1.22 \,\lambda=0.09 \ ^\circ\cdot мм, \qquad(9)\tag{9}\]где \(\lambda=650 \ нм\) – длина волны лазерного излучения.

A7. Рассчитаем диаметр центрального пятна \(D_0\) на экране, удалённом от диафрагмы лазерной указки на расстояние \(l_0=500~ см\), при прохождении света через диафрагму диаметром \(d_0=0.20~ мм\). Используя формулы \((1)\) и \((5)\), получим выражение для \(D_0\):

Ответ:

\[D_0=\dfrac{2\pi A}{d_0\cdot360^\circ} l_0+d_0=(30{.}7\pm4{.}4) \ мм \qquad(10)\tag{10}\]

Относительную погрешность этой величины можно считать равной относительной погрешности углового коэффициента графика:

Ответ:

\[\sigma_{D_0}=D_0\frac{\sigma_A}{A}=4.4 \ мм \qquad(11)\tag{11}\]

Источник: pho.rs/p/3818.