Блоки и гусеница

Нить нерастяжима и натянута, поэтому перемещения блоков по вертикали связаны. Запишите второй закон Ньютона для гусеницы и каждого блока с силами натяжения нити и найдите отношение ускорений грузов к ускорению гусеницы.

Так как нить не рвётся и все время натянута, перемещения блоков по вертикали связаны: если верхний блок поднимется на \(\Delta x_1\), а нижний изменит положение на \(\Delta x_2\), то из условия натяжённой нити \(\Delta x_1 = -2\Delta x_2\).

Второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось для гусеницы, верхнего и нижнего блоков: \[\begin{cases} \dfrac{M}{4}a_\Gamma = T_1 - T_2 - \dfrac{M}{4}g,\\[4pt] Ma_1 = 2T_1 - T_2 - Mg,\\[4pt] Ma_2 = 2T_2 - Mg. \end{cases}\] Вначале система неподвижна и все ускорения равны нулю. Чтобы подняться к потолку, гусеница должна ползти с ускорением. Изменения сил натяжения \(\Delta T_1\), \(\Delta T_2\) и связь ускорений \(a_1 = -2a_2\) дают систему \[\begin{cases} \dfrac{M}{4}a_\Gamma = \Delta T_1 - \Delta T_2,\\[4pt] -Ma_2 = 2\Delta T_1 - \Delta T_2,\\[4pt] Ma_2 = 2\Delta T_2, \end{cases}\] решая которую, находим \[a_1 = \frac{2}{5}a_\Gamma, \qquad a_2 = -\frac{1}{5}a_\Gamma.\] Так как скорости и пройденные пути связаны теми же множителями, верхний блок переместится на \(l_1 = \dfrac{2}{5}l_\Gamma = 3{,}6\) см, а нижний — на \(l_2 = -\dfrac{1}{5}l_\Gamma = -1{,}8\) см.