Сотня шариков в воде
5/10В теплоизолированном сосуде находится вода при температуре \(t_0 = 10{,}0\,{}^\circ\text{C}\). Одинаковые шарики (их количество \(n = 100\)) нагревают до температуры \(\theta = 60{,}0\,{}^\circ\text{C}\). Затем один шарик опускают в воду. Когда наступает тепловое равновесие, шарик вынимают и заменяют его вторым и так далее. Какой станет температура воды после того, как из неё достанут последний сотый шарик? Теплоёмкость одного шарика составляет \(\alpha = 0{,}01\) части от теплоёмкости сосуда с водой. Количество воды в сосуде всё время остаётся постоянным.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаСоставьте уравнение теплового баланса для первого шарика и посмотрите, как связаны температуры воды после соседних погружений.
Ответ\(t_{100} \approx 41{,}5\,{}^\circ\text{C}\).
РешениеЗапишем уравнение теплового баланса после погружения первого шарика: \[C(t_1 - t_0) = C_\text{ш}(\theta - t_1) = \alpha C(\theta - t_1) \quad\Rightarrow\quad t_1 = \theta + \frac{1}{1+\alpha}(t_0 - \theta) \approx 10{,}5\,{}^\circ\text{C},\] где \(C\) "— теплоёмкость сосуда с водой, \(C_\text{ш}\) "— теплоёмкость шарика, \(t_1\) "— установившаяся температура после погружения первого шарика.
Уравнение теплового баланса при втором погружении: \[C(t_2 - t_1) = C_\text{ш}(\theta - t_2) = \alpha C(\theta - t_2) \quad\Rightarrow\quad t_2 = \theta + \frac{1}{1+\alpha}(t_1 - \theta) = \theta + \left(\frac{1}{1+\alpha}\right)^2 (t_0 - \theta) \approx 11{,}0\,{}^\circ\text{C}.\] Проделав аналогичные действия \(n\) раз, получаем: \[t_n = \theta + \frac{1}{1+\alpha}(t_{n-1} - \theta) = \theta + \left(\frac{1}{1+\alpha}\right)^n (t_0 - \theta).\] Значит, \[t_{100} \approx 41{,}5\,{}^\circ\text{C}.\]
Похожие задачи
- Алюминиевый шарик в стакане с водой МОШ 2009/10, 8 кл.
- Перелив воды между бочками МОШ 2009/10, 9 кл.
- Горячая деталь в воде МОШ 2010/11, 8 кл.
- Нагрев сосуда с водой и гирей МОШ 2011/12, 8 кл.
- Лёд в калориметре МОШ 2011/12, 9 кл.
- Шарики в стакане МОШ 2011/12, 9 кл.