Задачи › Тепловое расширение тел и жидкостей

Тепловое расширение полипропилена

  1. Тепловое расширение полипропилена

    IEPhO 2022/23, 9 кл.
    5/10

    В данной задаче требуется оценка погрешностей.

    Теоретическая справка

    При изменении температуры твердые тела изменяют свои размеры. Для однородных тел вводят коэффициент линейного теплового расширения, равный относительному изменению размера тела \({\Delta l}/{l}\) при изменении его температуры \(\Delta T\) на один градус Цельсия: \[\alpha=\frac{\Delta l}{l \Delta T} \qquad(1)\tag{1}\]

    Условие

    A1. Измерение зависимости \(\Delta l(T)\) изменения длины трубки (или связанной с ней величины) от температуры в диапазоне от \(50\,^\circ\mathrm C\) до \(70\,^\circ\mathrm C\).

    A2. Построение графика зависимости \(\Delta l(T)\) (или \(\Delta x(T)\)) и нахождение \(\alpha\).

    Постройте график измеренной зависимости. Рассчитайте коэффициент теплового расширения материала, из которого изготовлена трубка, в исследованном диапазоне температур.

    Оборудование

    Рисунок
    1. Штатив с муфтой и лапкой

    2. Алюминиевый профиль

    3. Мерный цилиндр \(100~мл\)

    4. Полипропиленовая труба

    5. Пластмассовая линейка

    6. Деревянный брусок

    7. Малярный скотч

    8. Термометр

    9. Салфетки для поддержания чистоты

    10. Стакан \(1~л\) для слива воды

    11. Горячая вода по требованию

    Примечание: Горячую воду можно запрашивать несколько раз. Стакан \(1~л\) предназначен только для слива использованной воды.

    Разбирать термометр и мочить деревянный брусок запрещено!

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Решение

    A1. Соберем установку, изображенную на рис. 1. Поместим трубку в мерный цилиндр, поставим рядом с мерным цилиндром штатив, с закрепленной лапкой. Высоту лапки подберем так, чтобы нижняя линия цилиндрической части лапки оказалась чуть выше верхнего края трубки. Установим алюминиевый профиль так, чтобы он оказался зажат между верхним торцом трубки и лапкой штатива. Таким образом, при изменении длины трубки профиль будет вращаться относительно точки опоры на лапку штатива, при этом дальний от лапки конец профиля будет перемещаться существенно больше, чем точка его опоры на трубку. Для измерения перемещения конца профиля установим линейку, предварительно прикрепив ее к бруску скотчем.

    Рисунок

    Рис. 1. Установка для измерения малого изменения длины трубки

    Нальем в мерный цилиндр горячую воду и поместим в нее термометр. Дождемся выравнивания температур между водой, термометром и трубкой и измерим зависимость координаты \(x\) конца профиля от температуры \(T\) при охлаждении.

    Ответ:

    \(T,~^\circ\mathrm C\)71.169.868.166.264.863.461.960.358.657.155.653.551.850.0
    \(x, ~см\)0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.3

    A2.

    Рисунок

    Видно, что на участке от \(50\,^\circ\mathrm C\) до \(70\,^\circ\mathrm C\), график хорошо описывается линейной функцией с угловым коэффициентом, модуль которого:\[k=\frac{\Delta x}{\Delta T}=(0.062\pm0.03) ~ \text{см}/\,^\circ\mathrm C.\]Измерим остальные параметры установки. Длины плеч рычага, образованного профилем \(z=(79.2\pm0.1)~ см\), \(y=(7.0\pm0.1)~ см\). Длину части трубки, испытывающей тепловое расширение оценим как среднее из полной длины трубки и длины ее части, погруженной в воду \(l=(24.0\pm0.5)~ см\). Свяжем изменение длины трубки c изменением координаты \(x\) простым геометрическим соотношением:\[\Delta l= \Delta x \,\frac{y}{z}. \qquad(2)\tag{2}\]Тогда для коэффициента теплового расширения имеем:

    Ответ:

    \[\alpha=\frac{\Delta l}{l \Delta T}= \frac{k y}{zl} = (2.3\pm0.2)\cdot10^{-4} ~^\circ \mathrm C^{-1} \qquad(3)\tag{3}\]

    Погрешность измерения оценим исходя из суммы относительных погрешностей входящих в формулу величин:

    Ответ:

    \[\sigma_\alpha=\alpha(\varepsilon_{\Delta l}+\varepsilon_{l}+\varepsilon_{k}) = 0.2\cdot10^{-4} ~^\circ \mathrm C^{-1} \qquad(4)\tag{4}\]

    Источник: pho.rs/p/3821.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи