Чёрный ящик

Решение

A1. Измерим сопротивление мультиметра в режиме вольтметра. Для этого подключим параллельно два мультиметра, один из которых будет работать в режиме омметра, а второй в режиме вольтметра. Запишем показания омметра:

Ответ:

\[R_V=1.00 \ МОм\]

Заметим, что переключение между режимами вольтметра не меняет показаний омметра. Значит, сопротивление в режиме вольтметра не зависит от выбранного режима измерений.

A2. Подключим омметр к выводам ЧЯ и запишем его показания для трех разных вариантов подключения:

\[R_{AC}=R_1+R_3=2.2 \ \text{кОм},\qquad R_{AB}=R_1+R_2=1.8 \ \text{МОм},\qquad R_{BC}=R_2+R_3=1.8 \ \text{МОм}\qquad(1) \tag{1}\]Заметим соотношение между измеренными сопротивлениями \(R_{AB}=R_{BC}\gg R_{AC}\). Из него легко сделать вывод, что сопротивление \(R_2\) много больше сопротивлений \(R_1\) и \(R_3\) и может быть определено напрямую:

Ответ:

\[R_2=R_{AB}=R_{BC}=1.8 \ \text{МОм}\]

Тогда для определения сопротивлений \(R_1\) и \(R_3\) уравнений не хватает. Для этого подключим омметр к контактам \(A\) и \(C\), а второй мультиметр в режиме вольтметра поочередно будем подключать к контактам \(A \ и \ B\) и к контактам \(B \ и \ C\). Для увеличения показаний вольтметра выберем режим работы омметра «200» (см. рисунок 3).

Рис. 1. Схема для определения отношения сопротивлений

Запишем показания вольтметра в этом случае: \[U_{AB}=114.0 \ \text{мВ},\qquad U_{BC}=44.0 \ \text{мВ} .\] Несмотря на то, что сопротивление \(R_2\) сравнимо с сопротивлением вольтметра, отношение измеренных напряжений будет равно отношению сопротивлений в ветке \(A-C\) черного ящика:\[\frac{U_{AB}}{U_{BC}}=\frac{R_1}{R_3}. \qquad(2) \tag{2}\]Тогда рассчитаем сопротивления \(R_1\) и \(R_3\):

Ответ:

\[R_1=R_{AC}\,\dfrac{U_{AB}}{U_{AB}+U_{BC}}=1.6 \ \text{кОм} ,\qquad R_3=R_{AC}\,\dfrac{U_{BC}}{U_{AB}+U_{BC}}=0.61 \ \text{кОм}\qquad(3)\]

A3. Для определения параметров омметра в разных режимах будем подключать к нему вольтметр и дополнительные сопротивления из ЧЯ. Сначала изучим режим «2000k» (см. рисунок 4). Для этого сначала подключим к омметру вольтметр и запишем его показания \(U_1=1360 \ \text{мВ}\). После этого подключим параллельно к вольтметру сопротивление \(R_2\) (сопротивление \(R_{AB}\) или \(R_{BC}\)). Вновь запишем показания вольтметра \(U_2=1067 \ \text{мВ}\).

Рис. 4. Схема для определения внутренних параметров омметра в режиме <<2M>>

Опишем полученные значения формульно: \[U_1=U_{2M}\,\dfrac{R_V}{R_V+R_{2M}}, \qquad \qquad(4)U_2=U_{2M}\,\dfrac{R_{2V}}{R_{2V}+R_{2M}}, \tag{3}\] где \(R_{2V}\) – сопротивление параллельно соединенных вольтметра и сопротивления \(R_2\). Решим полученную систему уравнений:

Ответ:

\[R_{2M}=\dfrac{U_1-U_2}{{U_2}/{R_{2V}}-{U_1}/{R_{V}}}=0.98 \ \text{МОм} ,\qquad U_{2M}=\dfrac{R_V-R_{2V}}{{R_V}/{U_1}-{R_{2V}}/{U_2}}=2.7 \ \text{В}\qquad(5) \tag{4}\]

Если повторить опыт для режима «200», то можно обнаружить, что полученные значения напряжений не отличаются друг от друга и равны \(U_3=1484 \ \text{мВ}\). Последнее можно объяснить тем, что сопротивление вольтметра и сопротивление \(R_2\) много больше сопротивления \(R_{200}\) омметра в этом режиме. Тогда показания вольтметра совпадают с напряжением внутреннего источника питания в этом режиме:

Ответ:

\[U_{200}=U_3=1484 \ \text{мВ}\]

Тогда подключим вместо сопротивления \(R_2\) параллельно к вольтметру сопротивление \(R_{AC}=R_1+R_3\). В этом случае показания вольтметра составят \(U_4=680 \ \text{мВ}\). Это напряжение связано с параметрами схемы: \[U_4=U_{200}\,\frac{R_{AC}}{R_{AC}+R_{200}}. \qquad(6)\tag{5}\] Откуда получаем для сопротивления омметра в этом режиме:

Ответ:

\[R_{200}=R_{AC}\frac{U_{200}-U_4}{U_4}= 2620 ~\text{Ом} \qquad(7 )\tag{6}\]

Опишем альтернативный способ нахождения \(R_{200}\). Аналогично предыдущему методу измерим напряжение внутреннего источника питания омметра \(U_3 = 1484~ мВ\). Соберем схему, подключив напрямую амперметр к омметру, и измерим протекающий ток (см рис. 5).

Рис. 5. Схема для определения внутреннего сопротивления омметра в режиме <<200>>

Запишем показания амперметра \(I_A = 544~ мкА\). Общее сопротивление цепи может быть рассчитано как: \[R_{200}+R_A=\dfrac{U_3}{I_A}. \qquad(8) \tag{7}\] В то же время омметр показывает сопротивление амперметра (и проводов), подключенных к нему, \(R_A = 103 ~ Ом\). Вычислим сопротивление омметра как: \[R_{200}=\dfrac{U_{3}}{I_A} - R_A = 2625 ~\text{Ом}. \qquad(9) \tag{8}\]

Примечание: значения записаны для конкретного мультиметра, измеренного жюри. На различных приборах значения \(R_{200}\) могут отличаться.

Источник: pho.rs/p/3820.