Угловые весы

Правило рычага для линейки с грузами даёт отношение масс через отношение плеч. Плечи меняются, потому что точка касания смещается вдоль линейки на длину дуги цилиндра, по которой линейка покатилась без проскальзывания.

Когда линейку с разными закреплёнными грузами ставят так, что её середина соприкасается с верхней точкой цилиндра, система не находится в равновесии. По правилу рычага более тяжёлый груз (массы \(M\)) не может быть уравновешен менее тяжёлым (массы \(m\)), потому что у обоих сил тяжести плечи равны половине длины линейки (\(L/2\)). Система будет в равновесии, когда линейка отклонится на некоторый угол \(\alpha\), и при этом точка соприкосновения линейки с цилиндром сместится на некоторое расстояние \(\Delta\) вдоль линейки. Тогда длина отрезка от точки соприкосновения до меньшего груза будет равна \(L/2 + \Delta\), а для большего — \(L/2 - \Delta\). По условию линейка лёгкая, поэтому по правилу рычага в равновесии \[\frac{Mg}{mg} = \frac{L/2 + \Delta}{L/2 - \Delta} \quad\Rightarrow\quad \frac{M}{m} = \frac{L/2 + \Delta}{L/2 - \Delta},\] где \(g\) — ускорение свободного падения. Для нахождения отношения масс осталось найти \(\Delta\).

По условию проскальзывания нет, а значит, при отклонении линейка не проскальзывает в точке соприкосновения с цилиндром. Тогда вдоль линейки точка соприкосновения переместится на то же расстояние, что и вдоль поверхности цилиндра. Это расстояние равно длине дуги сечения цилиндра, которую легко найти, зная из условия угол \(\alpha = 18^\circ\): \[\Delta = \frac{\alpha}{180^\circ}\,\pi r \approx 0{,}314~\text{см}.\] Теперь подставим полученное значение \(\Delta\) в уравнение для отношения масс и получим ответ \[\frac{M}{m} = \frac{5 + 0{,}314}{5 - 0{,}314} = 1{,}134.\] Примечание: более строго правило рычага для этой ситуации можно получить, введя ось \(OX\) вдоль линейки и ось \(OY\) перпендикулярно ей. Проекции сил тяжести грузов на ось \(OX\) действуют вдоль линейки и не могут приводить её к вращению вокруг точки соприкосновения с цилиндром. Тогда линейку можно рассмотреть как обычный рычаг, на который действуют проекции сил тяжести на ось \(OY\), с плечами \(L/2 + \Delta\) и \(L/2 - \Delta\). По правилу рычага \[\frac{Mg_y}{mg_y} = \frac{L/2 + \Delta}{L/2 - \Delta} \quad\Rightarrow\quad \frac{M}{m} = \frac{L/2 + \Delta}{L/2 - \Delta},\] это выражение равносильно записанному выше, так как силы тяжести сонаправлены и \(\dfrac{Mg}{mg} = \dfrac{Mg_y}{mg_y}\).

Ответ: отношение массы большего груза к массе меньшего равно \(1{,}134\). Если найдено отношение массы меньшего груза к массе большего, то ответ \(0{,}882\).