Котёл

Есть два режима работы котла: нагреватель работает постоянно, или он поддерживает предельную температуру. Выясните, какой из двух данных случаев относится к каждому режиму, прежде чем использовать зависимость температуры от числа людей.

У котла есть два режима работы: 1) нагреватель работает постоянно, температура в котле меньше некоторого \(T_m\); 2) температура в котле равна \(T_m\), и нагреватель работает на поддержание этой температуры (непостоянно).

Рассмотрим работу котла в первом режиме. Мощность нагревателя \(P\) идёт на нагрев воды от температуры \(T_0\) до температуры \(T < T_m\). Если обозначить за \(\mu\) расход горячей воды в единицу времени на одного человека, то можно записать: \[P = N\mu c\,(T - T_0),\] где \(N\) — количество людей, одновременно принимающих душ, \(c\) — теплоёмкость воды. Выразим \(T\): \[T(N) = T_0 + \frac{P}{\mu c}\cdot\frac{1}{N} = 10^\circ\text{C} + \frac{\tau}{N},\] где \(\tau\) — некоторая константа, не зависящая от количества людей. Теперь достаточно найти \(\tau\), чтобы определить температуру в котле, когда душ принимают 6 человек. Рассмотрим два случая, представленные в условии (\(N = 3\) и \(N = 7\)): \[T(3) = 10^\circ\text{C} + \frac{\tau_1}{3} = 80^\circ\text{C} \quad\Rightarrow\quad \tau_1 = 210^\circ\text{C},\] \[T(7) = 10^\circ\text{C} + \frac{\tau_2}{7} = 60^\circ\text{C} \quad\Rightarrow\quad \tau_2 = 350^\circ\text{C}.\] Так как \(\tau_1 \ne \tau_2\), один из случаев соответствует режиму работы котла, при котором нагреватель поддерживает максимальную температуру (непостоянно). Ясно, что это случай \(N = 3\), так как ему соответствует бо́льшая температура: \[T_m = T(3) = 80^\circ\text{C}.\] Температура в случае \(N = 7\) меньше \(T_m\), значит этот случай соответствует режиму работы котла, при котором нагреватель работает постоянно. Следовательно, \(\tau = \tau_2 = 350^\circ\text{C}\).

Найдём температуру в котле, когда душ принимают 6 человек, считая, что нагреватель работает постоянно: \[T(6) = 10^\circ\text{C} + \frac{350^\circ\text{C}}{6} = 68\frac{1}{3}^\circ\text{C}.\] Это значение меньше \(T_m\), значит нагреватель действительно работает постоянно, и можно пользоваться полученной зависимостью \(T(N)\).

Ответ: когда душ принимают 6 человек, температура в котле равна \(68{,}3^\circ\)C.