Поезд под обстрелом

Сравните расстояния между соседними дырками. Разность расстояний между последовательными дырками одинакова и равна \(a\tau^2\), где \(\tau\) — интервал между выстрелами. По этому признаку восстановите порядок, в котором пули попали в стенку.

Будем следить за порядком появления дырок от пуль на поезде. Назовём дырки «последовательными», если они появились на поезде подряд, от двух последовательных выстрелов пулемёта.

Рассмотрим три последовательные дырки и расстояния между ними. Введём ось \(x\) слева направо вдоль поезда. По условию, если бы поезд не двигался, то расстояние между всеми парами последовательных дырок было бы одинаковым (обозначим его \(l\)). Но поезд движется. Пусть между выстрелами проходит время \(\tau\), за которое поезд (а потому и все готовые дырки) проезжает \(v\tau + \dfrac{a\tau^2}{2}\), где \(a\) — проекция ускорения поезда на ось \(x\), а \(v\) — проекция скорости. Из рисунка видно, что для последовательных дырок \[\Delta x = l - v\tau - \frac{a\tau^2}{2}.\] Рассмотрим три последовательные дырки. Обозначим разность координат первой и второй дырки за \(\Delta x_1\), второй и третьей — за \(\Delta x_2\), а скорости поезда в моменты появления первой и второй дырки — \(v_1\) и \(v_2\) соответственно. Тогда \[\Delta x_1 = l - v_1\tau - \frac{a\tau^2}{2}, \qquad \Delta x_2 = l - v_2\tau - \frac{a\tau^2}{2},\] \[\Delta x_1 - \Delta x_2 = (v_2 - v_1)\tau = a\tau^2.\] Значит, разность координат между последовательными дырками каждый раз уменьшается на одну и ту же величину \(a\tau^2\). Однако три крайних правых отверстия из условия имеют равные расстояния между собой, а потому данные нам дырки не могут быть последовательными слева направо. Поэтому поезд в какой-то момент стал ехать слишком быстро, и пулемёт стал «отставать»: часть дырок была сделана им при движении слева направо относительно поезда, а часть — справа налево. Значит, нужно восстановить порядок, в котором эти отверстия были оставлены пулемётом. Для удобства обозначим дырки буквами \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) слева направо.

Поймём, в каком порядке могли быть сделаны эти отверстия. Заметим, что \(D\) и \(E\) не могут быть последовательными (так как между \(E\) и \(F\) пусто, а в случае последовательных \(D\), \(E\) следующая пуля была бы после \(E\), но на расстоянии меньше двух клеток). По аналогичной причине не могли быть последовательными \(A\) и \(B\). Итак, если \(E\) и \(D\) не последовательные, то последовательны либо \(E\), \(F\), либо \(D\), \(F\).

1 случай. Последовательны \(E\), \(F\). Какой тогда другой сосед у отверстия \(E\)? Либо \(A\), либо \(B\), либо \(C\) (сосед \(E\) не может быть левее \(A\), так как \(A\), \(B\) не последовательны). Если \(A\), то \(a\tau^2 = 20\) кл., а тогда \(D\) быть не может (оно слишком близко). Если \(B\), то \(a\tau^2 = 14\) кл., и снова отверстие \(D\) не получается. Значит, \(C\); тогда \(a\tau^2 = 6\) кл., и получается правильная последовательность \(A\)–\(C\)–\(E\)–\(F\)–\(D\)–\(B\).

2 случай. Последовательны \(D\), \(F\). Какой тогда другой сосед у отверстия \(D\)? Либо \(A\), либо \(B\), либо \(C\). Если \(A\), то \(a\tau^2 = 16\) кл., а тогда \(E\) быть не может (опять же, слишком близко). Если \(C\), то \(a\tau^2 = 2\) кл., и справа от \(F\) должно быть отверстие на расстоянии двух клеток. Значит, \(B\); тогда \(a\tau^2 = 6\) кл., и получается правильная последовательность \(B\)–\(D\)–\(F\)–\(E\)–\(C\)–\(A\).

Осталось найти \(a\). По условию пулемёт делает 300 выстрелов в минуту, а потому \(\tau = \dfrac{60}{300} = 0{,}2\) с. Клетка имеет сторону 1 см, а потому \(a\tau^2 = 6\) см. Тогда \[a = \frac{0{,}06~\text{м}}{(0{,}2~\text{с})^2} = 1{,}5~\text{м/с}^2.\]

Ответ: ускорение равно \(1{,}5\) м/с\(^2\).