Бесконечная цепь батареек

Обозначим через \(R\) сопротивление каждого из вольтметров, а через \(r\) и \(\mathcal{E}\) — внутреннее сопротивление и ЭДС каждой из батареек. Тогда сила тока, текущего через \(k\)-й вольтметр, равна \(\dfrac{U}{Rn^k}\), а сила тока, текущего через \(k\)-ю батарейку, равна \[I_k = \dfrac{U}{R}\left(1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^k}\right) = \dfrac{U}{R}\cdot\dfrac{1 - (1/n)^{k+1}}{1 - (1/n)},\] где \(k = 0, 1, 2, \ldots\)

Рассмотрим замкнутый участок исходной цепи, включающий в себя \(k\)-ю батарейку и два соседних с нею вольтметра (см. рис. 3.57).

Как следует из закона Ома, ЭДС должна равняться сумме падений напряжения на всех трёх участках этой цепи: \[\mathcal{E} = I_kr + \dfrac{U}{Rn^k}\cdot R - \dfrac{U}{Rn^{k+1}}\cdot R = U\left(\dfrac{1}{n^k} - \dfrac{1}{n^{k+1}} + \dfrac{r}{R}\cdot\dfrac{1 - (1/n)^{k+1}}{1 - (1/n)}\right),\] или \[\mathcal{E} = \dfrac{Ur}{R}\cdot\dfrac{1}{1 - (1/n)} + \dfrac{U}{n^k}\left(1 - \dfrac{1}{n} - \dfrac{r}{R}\cdot\dfrac{1/n}{1 - (1/n)}\right).\] Поскольку полученное равенство должно быть справедливым для любого \(k\), то заключённое в скобки выражение равно нулю: \[1 - \dfrac{1}{n} - \dfrac{r}{R}\cdot\dfrac{1/n}{1 - (1/n)} = 0.\] Отсюда \(\dfrac{r}{R} = \dfrac{(n - 1)^2}{n}\), и искомая ЭДС равна \[\mathcal{E} = \dfrac{Ur}{R}\cdot\dfrac{n}{n - 1} = U\cdot\dfrac{(n - 1)^2}{n}\cdot\dfrac{n}{n - 1} = (n - 1)U.\]