Шайба на берегу

Шайба, попадая на берег, начинает тормозиться под действием силы трения, равной по величине \(\mu mg\). Уравнение движения шайбы имеет вид: \(ma = m\dfrac{d^2x}{dt^2} = -\mu mg = -(\mu_0 + kx)mg\), откуда \[\dfrac{d^2x}{dt^2} + kg\left(x + \dfrac{\mu_0}{k}\right) = 0.\] Обозначая \(kg\) через \(\omega^2\) и вводя новую переменную \(z = x + \dfrac{\mu_0}{k}\), получаем для \(x > 0\) уравнение гармонических колебаний: \[\dfrac{d^2z}{dt^2} + \omega^2z = 0.\] Решением этого уравнения является функция \(z = A\sin(\omega t + \varphi_0)\), так что \(x = A\sin(\omega t + \varphi_0) - \dfrac{\mu_0}{k}\), а скорость шайбы \(v = \dfrac{dx}{dt} = A\omega\cos(\omega t + \varphi_0)\). Из условия задачи следует, что при \(t = 0\) координата шайбы \(x = 0\), а её скорость \(v = v_0\). Поэтому \(\mu_0/k = A\sin\varphi_0\) и \(v_0 = A\omega\cos\varphi_0\), откуда \[\operatorname{tg}\varphi_0 = \dfrac{\omega\mu_0}{kv_0} = \dfrac{\mu_0}{v_0}\sqrt{\dfrac{g}{k}}.\] Шайба остановится при достижении «максимального отклонения» \(x_0 = A - (\mu_0/k)\), когда её скорость упадёт до нуля. Это произойдёт в момент времени \(t_1\), когда \(\omega t_1 + \varphi_0 = \pi/2\), откуда \[t_1 = \dfrac{1}{\omega}\left(\dfrac{\pi}{2} - \varphi_0\right) = \dfrac{1}{\sqrt{kg}}\left(\dfrac{\pi}{2} - \operatorname{arctg}\left(\dfrac{\mu_0}{v_0}\sqrt{\dfrac{g}{k}}\right)\right).\]