Поршень в вертикальном цилиндре

Обозначим площадь цилиндра через \(S\), массу поршня через \(m\), объём цилиндра через \(2V\), а количество содержащегося в нём газа — через \(2\nu\). Тогда для газа в исходном состоянии справедливо уравнение Менделеева — Клапейрона: \[pV = \nu RT.\] Пусть после освобождения поршня он перешёл в положение равновесия, опустившись на расстояние \(h\). При этом температура газа увеличилась на величину \(\Delta T\), давление в нижней части цилиндра возросло по сравнению с исходным на некоторую величину \(\Delta p_1\), а в верхней — уменьшилось на некоторую величину \(\Delta p_2\). После опускания поршня уравнение Менделеева — Клапейрона для порций газа, находящихся под поршнем и над ним, имеет вид: \[(p + \Delta p_1)(V - Sh) = \nu R(T + \Delta T),\] \[(p - \Delta p_2)(V + Sh) = \nu R(T + \Delta T).\] Так как поршень после опускания находится в равновесии, то \[\Delta p_1 + \Delta p_2 = \Delta p = \dfrac{mg}{S}.\] При опускании поршня изменение его потенциальной энергии в поле силы тяжести \(mgh\) пошло на изменение внутренней энергии газов \((3/2)\cdot 2\nu\cdot R\Delta T\). Следовательно, \(mgh = 3\nu R\Delta T\), откуда \[h = 3\nu R\Delta T/(mg).\] Решим полученную систему, состоящую из пяти уравнений. Для этого выразим из первого уравнения объём \(V\), из четвёртого — площадь \(S\), и преобразуем второе и третье уравнения с учётом пятого: \[(p + \Delta p_1)\left(\dfrac{T}{p} - \dfrac{3\Delta T}{\Delta p}\right) = T + \Delta T,\qquad (p - \Delta p_2)\left(\dfrac{T}{p} + \dfrac{3\Delta T}{\Delta p}\right) = T + \Delta T.\] Деля эти уравнения на выражения \(\left(\dfrac{T}{p} \mp \dfrac{3\Delta T}{\Delta p}\right)\) и затем вычитая получившиеся уравнения друг из друга, получим: \[\begin{aligned} \Delta p_1 + \Delta p_2 &= (T + \Delta T)p\Delta p\left(\dfrac{1}{T\Delta p - 3p\Delta T} - \dfrac{1}{T\Delta p + 3p\Delta T}\right) =\\ &= \dfrac{(T + \Delta T)6p^2\Delta T\Delta p}{T^2(\Delta p)^2 - 9p^2(\Delta T)^2} = \Delta p. \end{aligned}\] Преобразовывая последнее соотношение, получим квадратное уравнение относительно искомой величины \(\Delta T\): \[15p^2(\Delta T)^2 + 6p^2T\Delta T - T^2(\Delta p)^2 = 0.\] Дискриминант этого уравнения равен \[D = 36p^4T^2 + 60p^2T^2(\Delta p)^2 = 36p^4T^2\left(1 + \dfrac{5}{3}\cdot\left(\dfrac{\Delta p}{p}\right)^2\right),\] а интересующий нас положительный корень: \[\Delta T = \dfrac{1}{30p^2}\left(-6p^2T + 6p^2T\sqrt{1 + \dfrac{5}{3}\cdot\left(\dfrac{\Delta p}{p}\right)^2}\right) = \dfrac{T}{5}\left(\sqrt{1 + \dfrac{5}{3}\cdot\left(\dfrac{\Delta p}{p}\right)^2} - 1\right).\]