Задачи › Импульс, закон сохранения импульса

Коробка с пушкой

  1. Коробка с пушкой

    Санкт-Петербургская 2018/19, 11 кл.
    7/10

    На гладком горизонтальном столе стоит коробка высоты \(D\) и ширины \(2D\). Внутри коробки в левом нижнем углу закреплена небольшая игрушечная пушка, стреляющая снарядом массой \(m\), который мгновенно прилипает к любой цели, в которую попадает. Насколько сместится коробка по столу в результате одного выстрела? Масса коробки с пушкой \(M\). Дуло пушки направлено под углом \(\alpha\) к горизонту, скорость вылета снаряда относительно пушки равна \(v\). Ускорение свободного падения \(g\). Трением между коробкой и столом и сопротивлением воздуха пренебречь. Коробка не переворачивается.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Горизонтальный импульс системы равен нулю, поэтому коробка движется только пока летит снаряд. Найдите скорость коробки из закона сохранения импульса и время полёта до попадания снаряда в стенку, потолок или дно.

    Ответ

    Смещение коробки \(x = uT\), где \(u = \dfrac{m v\cos\alpha}{m + M}\), а \(T\) — время полёта снаряда: \(T = T_1 = \dfrac{2v\sin\alpha}{g}\) при \(H_{max} < D\), \(L_{max} < 2D\); \(T = T_2\) при \(H_{max} \ge D\), \(L_{max} < 2D\); \(T = T_3\) при \(H_{max} < D\), \(L_{max} \ge 2D\); \(T = \min(T_2, T_3)\) при \(H_{max} \ge D\), \(L_{max} \ge 2D\). Здесь \(T_2 = \left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{D}{H_{max}}}\right)\dfrac{v\sin\alpha}{g}\), \(T_3 = \dfrac{2D}{v\cos\alpha}\), \(H_{max} = \dfrac{v^2\sin^2\alpha}{2g}\), \(L_{max} = \dfrac{v^2\sin 2\alpha}{g}\).

    Решение

    Горизонтальная проекция импульса системы сохраняется. Из \(m(v\cos\alpha - u) - Mu = 0\) находим скорость коробки, пока летит снаряд: \[u = \frac{m}{m + M}\, v\cos\alpha. \qquad (1)\] В системе коробки снаряд вылетает из угла коробки под углом \(\alpha\) к горизонту. Если бы у коробки не было верха и стенок, снаряд упал бы на дно через \(T_1 = \dfrac{2v\sin\alpha}{g}\). Высота полёта \(H_{max} = \dfrac{v^2\sin^2\alpha}{2g}\), дальность \(L_{max} = \dfrac{v^2\sin 2\alpha}{g}\).

    Если \(H_{max} \ge D\), снаряд может попасть в потолок. Время подъёма на высоту \(D\): \[T_2 = \left(1 - \sqrt{1 - \frac{D}{H_{max}}}\right)\frac{v\sin\alpha}{g}.\] Если \(L_{max} \ge 2D\), снаряд может попасть в противоположную стенку за время \(T_3 = \dfrac{2D}{v\cos\alpha}\).

    В зависимости от соотношения параметров время смещения коробки равно \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\) или \(\min(T_2, T_3)\), как указано в ответе. Смещение коробки равно \(x = uT\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх