Цилиндр у стены

Если ускорения всех точек цилиндра равны нулю, цилиндр находится в равновесии: суммы сил и моментов равны нулю. Проверьте, может ли брусок сам покоиться на цилиндре, и при каком угле это возможно.

Случай а) (\(\mu_A \ne 0\), \(\mu_B = 0\)). Если брусок покоится, то \(\mu_0 \ge \operatorname{tg}\alpha\), сила реакции со стороны цилиндра уравновешивает \(mg\), и на цилиндр действует вертикальная сила \(mg\) в точке \(C\). Проекция на горизонталь даёт \(N_A = 0\), то есть трение о стену тоже равно нулю, и момент силы \(mg\) не может быть скомпенсирован. Если брусок скользит (\(\mu_0 < \operatorname{tg}\alpha\)), сила трения \(\mu_0 mg\cos\alpha\) и нормальная сила \(mg\cos\alpha\) дают результирующую, отклонённую от нормали на угол \(\beta\) с \(\operatorname{tg}\beta = \mu_0 < \operatorname{tg}\alpha\). Горизонтальные силы на цилиндр не компенсируются. Значит, в случае а) равновесие невозможно.

Случай б) (\(\mu_A = 0\), \(\mu_B \ne 0\)). Если брусок покоится (\(\mu_0 \ge \operatorname{tg}\alpha\)), то из условий равновесия цилиндра по горизонтали и вертикали и по моментам \[N_A = F_B = mg\sin\alpha, \qquad N_B = (m + M)g.\] Условие \(F_B \le \mu_B N_B\) даёт \(\mu_B \ge \dfrac{m\sin\alpha}{m + M}\). При \(M = 2m\), \(\alpha = 60^\circ\): \(\mu_B \ge \dfrac{\sqrt{3}}{6}\) при \(\mu_0 \ge \sqrt{3}\).

Если брусок скользит (\(\mu_0 < \operatorname{tg}\alpha\)), то \(N = mg\cos\alpha\), \(F_{тр} = \mu_0 mg\cos\alpha\), и \[N_A = mg(\mu_0\cos\alpha + \mu_0 - \sin\alpha)\cos\alpha, \qquad F_B = \mu_0 mg\cos\alpha, \qquad N_B = mg(\mu_0\sin\alpha + \cos\alpha)\cos\alpha + Mg.\] Условие \(N_A \ge 0\) даёт \(\mu_0 \ge \dfrac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}\), при \(\alpha = 60^\circ\) это \(\mu_0 \ge \dfrac{\sqrt{3}}{3}\). Условие \(F_B \le \mu_B N_B\) даёт \(\mu_B \ge \dfrac{2\mu_0}{9 + \mu_0\sqrt{3}}\).