Поршень с нагревом

Сначала найдите высоту поршня после насыпания песка по закону Бойля–Мариотта. Затем составьте уравнение теплового баланса для малого шага подъёма поршня, учитывая, что сопротивление стержня между дном и поршнем зависит от высоты.

Песок насыпают медленно, поэтому сжатие газа изотермическое. Начальный объём \(V_0 = h_0 S\), давление \(p_0\). Конечная высота \(h_1\), давление \(p_1 = p_0 + mg/S\). По закону Бойля–Мариотта \[h_1 = \frac{p_0 S}{p_0 S + mg}\, h_0. \qquad (16)\] При высоте поршня \(h\) сопротивление цепи равно \(R = \lambda h\), и за малое время \(\Delta t\) выделяется тепло \(\Delta Q = \dfrac{U^2}{\lambda h}\Delta t\). Это тепло полностью идёт на нагрев газа. Газ расширяется при постоянном давлении \(p_0 + mg/S\), поэтому работа \(\Delta A = (p_0 S + mg)\Delta h\), изменение внутренней энергии \(\Delta U = \dfrac{3}{2}(p_0 S + mg)\Delta h\) (по уравнению Клапейрона–Менделеева). Первое начало термодинамики даёт \[\frac{U^2}{\lambda h}\Delta t = \frac{5}{2}(p_0 S + mg)\Delta h,\] откуда \(\Delta t = G\, h\,\Delta h\) с \(G = \dfrac{5\lambda}{2U^2}(p_0 S + mg)\).

Это дифференциальное уравнение аналогично движению с постоянным ускорением: за время от \(\tau_1\) до \(\tau_2\) координата изменяется на \(\dfrac{G}{2}(\tau_2^2 - \tau_1^2)\). Поэтому время подъёма поршня с высоты \(h_1\) до \(h_0\) \[t = \frac{G}{2}\left(h_0^2 - h_1^2\right) = \frac{5}{4}\,\frac{\lambda}{U^2}\,\frac{(2p_0 S + mg)\,mg\,h_0^2}{p_0 S + mg}.\]