Два груза на стержнях, соединённые пружиной

Максимальная длина пружины достигается, когда скорости грузов совпадают. Тогда импульс системы и энергия дают два уравнения для неизвестной скорости и \(x\).

Обозначим скорости грузов \(\vec V_1\) и \(\vec V_2\), относительную скорость \(\vec V_{\text{отн}} = \vec V_1 - \vec V_2\). Она направлена вдоль стержней. Максимальная и минимальная длины пружины реализуются, когда проекция относительной скорости на направление пружины обращается в нуль. При максимальной длине относительная скорость равна нулю, и скорости грузов совпадают: \(\vec V_1 = \vec V_2 = \vec V\).

Так как грузы движутся без трения, импульс сохраняется: \[m_1 V_0 - m_2 V_0 = m_1 V + m_2 V \quad\Rightarrow\quad V = \frac{(m_1 - m_2) V_0}{m_1 + m_2}.\] Закон сохранения энергии: \[(m_1 + m_2) V_0^2 + k x_0^2 = (m_1 + m_2) V^2 + k x^2.\] Подставляя \(V\), получаем \[k x^2 = k x_0^2 + \frac{4 m_1 m_2 V_0^2}{m_1 + m_2} \quad\Rightarrow\quad x = \sqrt{x_0^2 + \frac{4 m_1 m_2 V_0^2}{(m_1 + m_2) k}} \approx 2{,}2\text{ см}.\]