Две стрелы Робин Гуда

Дальность полёта стрелы, выпущенной с заданной скоростью под углом к горизонту, пропорциональна \(\sin 2\alpha\). Равенство дальностей даёт связь между углами.

Покажем, что силу натяжения лука знать не нужно: достаточно значения угла между стрелами. Пусть первая стрела вылетает со скоростью \(v\) и втыкается в землю под углом \(\alpha\). Время полёта \(t = \dfrac{2 v \sin\alpha}{g}\), дальность \(s_1 = v\cos\alpha\, t = \dfrac{2 v^2}{g}\sin\alpha\cos\alpha\). Для второй стрелы, с углом \(\beta\), аналогично \(s_2 = \dfrac{2 v^2}{g}\sin\beta\cos\beta\), так как модули начальных скоростей одинаковы.

Дальности равны, \(s_1 = s_2\), поэтому \(\sin 2\alpha = \sin 2\beta\). Решение \(\alpha = \beta\) не интересует нас, поэтому по формулам приведения \(\cos(2\alpha - 90^\circ) = \cos(90^\circ - 2\beta)\), откуда \(\alpha = 90^\circ - \beta\). Разность углов \(\Delta = \beta - \alpha = 40^\circ\). Решая систему, получаем \(\alpha = 25^\circ\), \(\beta = 65^\circ\).