Разная работа

Левая порция остывает при постоянном давлении (атмосферном) и всё выделяемое тепло отдаёт правой порции. Что это говорит о теплоёмкости правой порции и о виде её процесса?

Изменение состояния газа слева и справа от перегородки происходит таким образом, что температура обеих порций остаётся одинаковой. Газ, располагающийся слева от перегородки, сжимается, поскольку его температура уменьшается при постоянном давлении, отдавая при изменении температуры на \(dT\) количество теплоты \[\delta Q_L = c_p\,dT. \tag{1}\] В формуле (1) считается, что \(dT<0\) и \(\delta Q_L<0\). Теплота (1) отдаётся порции газа в правом отсеке, которая получает количество теплоты, равное \(\delta Q_R = -\delta Q_L = -c_p\,dT\) только от газа в левом отсеке, поэтому теплоёмкость этой порции в любой момент в процессе охлаждения равна \[c = \frac{\delta Q_R}{dT} = \frac{-c_p\,dT}{dT} = -c_p = -\frac{5R}{2}. \tag{2}\] Таким образом, с газом в правом отсеке совершается политропический процесс с показателем политропы \[n = \frac{c-c_p}{c-c_V} = \frac{5R}{4R} = \frac54 .\] Работа газа, находящегося в правом отсеке, может быть найдена из первого начала термодинамики. С учётом полученного значения теплоёмкости (2) имеем формулу \[A_\text{г} = Q - \Delta U = -c_p\Delta T - c_V\Delta T \approx 1000\text{ Дж}, \tag{3}\] где \(\Delta T=-30\) K. Для того, чтобы вычислить работу внешней силы, определим сначала конечный объём порции газа, расположенной справа от перегородки. Это можно сделать двумя способами.

Используя уравнение политропического процесса \(pV^n=\text{const}\), где \(n=\frac54\) — показатель политропы, найденный выше, а также уравнение состояния идеального газа, имеем равенство \(T^4V=\text{const}\), из которого следует формула для объёма в конце процесса охлаждения \[V_1 = V_0\left(\frac{T_0}{T_0+\Delta T}\right)^4 . \tag{4}\] С другой стороны, можно было бы записать соотношение, отражающее первое начало термодинамики для газа, расположенного справа от перегородки: \[-c_p\,dT = c_V\,dT + \frac{RT}{V}\,dV .\] Из этого соотношения после преобразований и подстановки значений теплоёмкостей следует дифференциальное уравнение \[-4\,\frac{dT}{T} = \frac{dV}{V},\] интегрируя которое, получаем равенство \(-4\ln\dfrac{T}{T_0} = \ln\dfrac{V}{V_0}\) и далее формулу (4) для объёма.

Теперь можно перейти к определению работы внешней силы. Поскольку правый поршень перемещается очень медленно, суммарная работа всех сил, действующих на него, равна нулю, следовательно справедливо равенство \(A_\text{г} + A_F - p_0(V_1-V_0)=0\), подставляя в которое объём из формулы (4) и работу газа из формулы (3), получаем ответ \[A_F = RT_0\left(\left(\frac{T_0}{T_0+\Delta T}\right)^4-1\right) - A_\text{г} \approx 300\text{ Дж}.\]