Магнитный колодец

Решение

A1. Чтобы измерить массу магнита на электронных часах – необходимо положить немагнитное тело между магнитом и весами, чтобы развести их на некоторое расстояние. Например, поставить вертикально пластиковую трубу – измерить её массу (или нажать на кнопку TARE при наличии) – положить сверху магнит (так, чтобы тот не упал внутрь) и посмотреть на изменение показаний весов, что и будет массой магнита. Запишем полученные для масс данные:\[m_м=4.50~г,\quad m_г=0.67~г \qquad(2)\]

Ответ:

\[m_м=4.50~г,\quad m_г=0.67~г\]

A2. Измерим зависимость координаты груза от времени его движения. Для каждой измеренной координаты время усредняем 3 раза.

По усреднённым данным строим график зависимости координаты конца груза от времени. Заметим, что график хорошо описывается линейной функцией, что говорит о том, что движение магнита в трубе происходит с постоянной скоростью, то есть равномерно.

A3. Будем последовательно увеличивать массу груза на конце лески и измерять время движения магнита в трубе. Общую массу системы будем вычислять на основе данных первого пункта. Скорость системы рассчитаем на основе данных о длине трубки \(l=20.0~см\).

Построим график зависимости скорости магнита от \(m_\mathrm{all}\) – общей массы магнита, скрепки и гаек.

График зависимости \(v\) от \(m_{all}\)

На магнит и его грузы действуют две силы: суммарная сила тяжести всех компонентов системы \(m_{all} g\) и сила магнитного сопротивления \(F\). Так как движение магнита в трубе равномерно, указанные силы компенсируют друг друга: \[F=m g \qquad(3)\] Линейность полученного в этом упражнении графика говорит о том, что скорость движения магнита пропорциональна силе тяжести \(m_\mathrm{all} g\). Объединяя вышесказанное, можем утверждать, что сила сопротивления движению магнита будет пропорциональна скорости. \[k v=m g \qquad(4)\] Коэффициент \(k\) определим из углового коэффициента графика \(A_1=0.9~см/(г \cdot г\)):\[k=\frac{g}{A_1}=1.09~кг/с \qquad(5)\]

Ответ:

\[k=1.09~кг/с\]

A4. Закрепим с помощью штатива горизонтальную пластиковую трубу и перекинем через неё леску с грузом. При малой массе груза \(m_г\) магнит будет перевешивать груз и движение лески начнется в сторону магнита. При определённых массах груза система будет находится в равновесии, а при больших – движение лески будет происходить в сторону груза. Силу натяжения нити над магнитом обозначим \(T_1\), а над грузом \(T_2\) (см. рисунок). Как мы можем видеть из формулы в примечании - силы натяжения должны отличаться в фиксированное число раз \(\gamma>1\). Тогда при движении магнита вниз \(T_1=\gamma T_2\), а при движении вверх: \(T_2=\gamma T_1\). Запишем 2 закон Ньютона для обоих случаев.

\[\begin{align*} & \left\{\begin{array}{l} \left(m_м+m_с\right) g-k v=T_1\\ T_2=N m_r g\\ T_2=\gamma T_1 \end{array}\quad\left(если  m_м>N m_г\right) \implies k v=-\gamma N m_г g+m_мg\right. \qquad(6)\\ \\ & \left\{\begin{array}{l} m_м g+k v=T_1\\ T_2=N m_r g \\ T_1=\gamma T_2 \end{array} \quad\left(если  N m_г>m_м\right) \implies k v=\frac{N m_г g}{\gamma}-m_м g\right. \qquad(7)\\ & \end{align*}\]

Рис. 6. Рисунок с силами без \(F_m\)

Получаем данные и строим график зависимости силы сопротивления от \(m_г g\)

График зависимости \(k v\) от \(N m_г g\)

Коэффициент наклона левой прямой, который по формуле \((3)\) соответствует \(-\gamma \approx-1.8\)

Для правой прямой коэффициент наклона равен \(\frac{1}{\gamma}=0.7 \Rightarrow \gamma=1.43\)

Таким образом:

Ответ:

\[\gamma=1.6\pm0.2\]

Дополнение: Используя формулу Эйлера, можем вычислить коэффициент трения лески о трубу:\[\gamma=e^{\pi \mu} \implies\mu=\frac{\ln \gamma}{\pi} \qquad(8)\]Получаем в каждом из случаев: \(\mu=0.19\) или \(\mu=0.11\).

Таким образом, коэффициент трения лески о трубу в диапазоне от 0.11 до 0.19.

Методическое указание: Отрезки лески имеют длину \(30\) и \(110~см\).

Источник: pho.rs/p/4215.