Два камня

Нарисуйте векторные треугольники скоростей обоих камней с общим началом: изменение скорости у обоих одно и то же, \(g\vec t\). Теорема синусов в этих треугольниках сразу даёт угол; относительная скорость камней постоянна.

Графический метод решения

Построим векторные треугольники скоростей для каждого из камней с общим началом в точке \(O\). Вершины треугольников для удобства подпишем буквами. На рисунке \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OM}\) — векторы начальных скоростей, \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{ON}\) — векторы скоростей перед падением на землю одного из камней.

По теореме синусов из \(\triangle AOB\) и \(\triangle MON\) находим \[\frac{v}{\sin\alpha} = \frac{gt}{\sin\angle AOB} = \frac{gt}{\sin\angle MON}.\] Поскольку камни брошены по условию под разными углами, то из равенства \(\sin\angle AOB = \sin\angle MON\) следует \(\angle AOB + \angle MON = 180^\circ\). Тогда \(\angle BON = 90^\circ\), а камни движутся под одинаковыми углами к вертикали \(\alpha = \angle BON/2 = 45^\circ\).

Искомый угол с горизонтом составляет \(\varphi = 90^\circ - \alpha = 45^\circ\).

Из закона сохранения энергии: \(|\overrightarrow{ON}| = v_1 = \sqrt{v^2 + 2gh}\).

Для нахождения расстояния между камнями в этот момент определим время движения. По теореме косинусов для \(\triangle MON\) \[v^2 + 2gh + (gt)^2 - 2\sqrt{v^2 + 2gh}\cdot gt\cdot\cos 45^\circ = v^2.\] Решая полученное квадратное уравнение, находим два корня \[t = \frac{\sqrt{v^2 + 2gh} \pm \sqrt{v^2 - 2gh}}{\sqrt{2}\,g}.\] Учитывая условие, что первоначально оба камня удаляются от земли, необходимо выбрать знак «\(+\)». Умножая полученное время на относительную скорость камней \(v_\text{отн} = \sqrt{2}\,v\), получаем выражение для расстояния между камнями в этот момент времени \[l = v_\text{отн} t = \frac{v}{g}\left(\sqrt{v^2 + 2gh} + \sqrt{v^2 - 2gh}\right).\]

Аналитический метод решения

Пусть первым упадёт камень, брошенный под углом \(\gamma\). В момент перед падением этого камня на землю \[y = h + v\sin\gamma\,t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = 0,\] откуда получаем время движения \[t_1 = \frac{v\sin\gamma}{g}\cdot\left(1 + \sqrt{1 + \frac{2gh}{v^2\sin^2\gamma}}\right).\] Из уравнений движения камней определим проекции скоростей \[v_{1x} = v\cos\gamma, \quad v_{1y} = v\sin\gamma - gt,\] \[v_{2x} = v\cos\beta, \quad v_{2y} = v\sin\beta - gt.\] В момент, когда векторы скоростей камней направлены под одинаковыми углами к горизонту, \[\operatorname{tg}\varphi = \frac{v_{1y}}{v_{1x}} = \frac{v_{2y}}{v_{2x}}.\] Из получившегося соотношения следуют два уравнения \[\operatorname{tg}\varphi = \frac{v\sin\gamma - gt_1}{v\cos\gamma},\] \[\frac{v\sin\gamma - gt_1}{v\cos\gamma} = \frac{v\sin\beta - gt_1}{v\cos\beta}.\] Преобразуем уравнения, используя выражение для \(t_1\): \[\operatorname{tg}\varphi = -\frac{\sqrt{v^2\sin^2\gamma + 2gh}}{v\cos\gamma},\] \[-\frac{\sqrt{v^2\sin^2\gamma + 2gh}}{v\cos\gamma} = \frac{v\sin\beta - v\sin\gamma - \sqrt{v^2\sin^2\gamma + 2gh}}{v\cos\beta}.\] Выразив \(\sqrt{v^2\sin^2\gamma + 2gh}\) из второго уравнения и подставив в первое, получим \[\operatorname{tg}\varphi = -1.\] Искомый угол с горизонтом составляет \(\varphi = 45^\circ\).

Используя \(\operatorname{tg}\varphi = -1\), из \(\operatorname{tg}\varphi = -\dfrac{\sqrt{v^2\sin^2\gamma + 2gh}}{v\cos\gamma}\) найдём \[\sin\gamma = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{gh}{v^2}}, \qquad \cos\gamma = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{gh}{v^2}}.\] Тогда время \(t_1\) \[t_1 = \frac{v}{g}\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{gh}{v^2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{gh}{v^2}}\right).\] Умножая полученное время на относительную скорость камней \(v_\text{отн} = \sqrt{2}\,v\), получаем выражение для расстояния между камнями в этот момент времени \[l = v_\text{отн} t_1 = \frac{v}{g}\left(\sqrt{v^2 + 2gh} + \sqrt{v^2 - 2gh}\right).\]