Стержень между двумя линзами

Запишите формулу тонкой линзы для изображения стержня в каждой линзе при общем увеличении \(K\), решите систему двух уравнений относительно \(x\) и найдите фокусные расстояния линз из условий задачи.

\(x=\dfrac{(\Gamma-1)d}{3\Gamma+1}=5\) см.

Построим изображения стержня в линзах (см. рисунок). Чтобы изображения имели одинаковое увеличение, стержень нужно сдвинуть к первой линзе (влево).

Пусть увеличение каждого изображения при этом стало равно \(K\). Тогда для первой линзы \[\frac{1}{d-x}+\frac{1}{K(d-x)}=\frac{1}{F_1},\] а для второй \[\frac{1}{d+x}+\frac{1}{K(d+x)}=\frac{1}{F_2},\] где \(F_1\) и \(F_2\) — фокусные расстояния первой и второй линз. Решая систему из двух уравнений, получим \[x=\frac{(F_2-F_1)\,d}{F_1+F_2}.\] Найдём фокусные расстояния. Так как первая линза сначала даёт изображение без увеличения, то \(d=2F_1\), т.е. \(F_1=\dfrac{d}{2}\). Фокусное расстояние второй линзы найдём из равенства \(\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{\Gamma d}=\dfrac{1}{F_2}\), т.е. \(F_2=\dfrac{\Gamma d}{\Gamma+1}\). Подставляя в формулу для \(x\), окончательно получим \[x=\frac{(\Gamma-1)\,d}{3\Gamma+1}=\frac{2\cdot25}{10}=5\ \text{см}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.