Брусок на пружине с пластилиновым шариком

Найдите скорость шарика перед ударом по закону сохранения энергии и скорость бруска с шариком сразу после удара по закону сохранения импульса. Запишите решение уравнения колебаний с начальными условиями и найдите момент первого максимума координаты.

\(\tau=\dfrac{1}{\omega}\Bigl(2\pi-\operatorname{arctg}\bigl(\omega\sqrt{2h/g}\bigr)\Bigr)=\dfrac{7\pi}{20}\approx1{,}1\) с.

Совместим начало координат с положением равновесия бруска с прилипшим шариком, ось \(OX\) направим вертикально вверх. В положении равновесия бруска пружина сжата на \(\Delta x_1=\dfrac{mg}{k}\), а в положении равновесия бруска с шариком — на \(\Delta x_2=\dfrac{2mg}{k}\). Поэтому начальная координата бруска с шариком \[x_0=\Delta x_2-\Delta x_1=\frac{mg}{k}.\] По закону сохранения энергии скорость шарика перед ударом \(u_0=\sqrt{2gh}\). По закону сохранения импульса скорость бруска с шариком сразу после удара \(v_0=\dfrac{u_0}{2}=\sqrt{\dfrac{gh}{2}}\).

Уравнение свободных колебаний и начальные условия: \[\ddot x+\omega^2x=0,\qquad x(0)=x_0=\frac{mg}{k},\qquad \dot x(0)=-v_0=-\sqrt{\frac{gh}{2}}.\] Решение: \(x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)\), где амплитуда \(A=\sqrt{x_0^2+v_0^2/\omega^2}\), круговая частота \(\omega=\sqrt{\dfrac{k}{2m}}\), начальная фаза \[\varphi_0=\operatorname{arctg}\!\Bigl(-\frac{\dot x(0)}{\omega x(0)}\Bigr)=\operatorname{arctg}\frac{v_0}{\omega x_0}=\operatorname{arctg}\Bigl(\omega\sqrt{\frac{2h}{g}}\Bigr).\] Координата бруска с шариком принимает максимальное значение в первый раз при \(\omega\tau+\varphi_0=2\pi\). Отсюда \[\tau=\frac{1}{\omega}\bigl(2\pi-\varphi_0\bigr)=\frac{1}{\omega}\Bigl(2\pi-\operatorname{arctg}\bigl(\omega\sqrt{2h/g}\bigr)\Bigr).\] Подставляя \(\omega=5\) рад/с, \(\omega\sqrt{2h/g}=1\), получим \(\tau=\dfrac{1}{5}\Bigl(2\pi-\dfrac{\pi}{4}\Bigr)=\dfrac{7\pi}{20}\approx1{,}1\) с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.