Два цикла с одноатомным газом

КПД равен отношению работы за цикл к теплу, полученному газом за цикл. Работа за оба цикла одна и та же (площадь цикла). Найдите, на каких участках газ получает тепло в каждом цикле, и посчитайте его через изменение внутренней энергии и работу.

\(\dfrac{\eta_2}{\eta_1}=\dfrac{33}{29}\) (так в официальном решении; по формулировке вопроса \(\dfrac{\eta_1}{\eta_2}=\dfrac{29}{33}\)).

КПД тепловой машины равен отношению работы за цикл к количеству теплоты, полученному газом в этом цикле. Работа за цикл равна площади, ограниченной циклом на \(pV\)-диаграмме, и одинакова для двух циклов. В первом цикле газ получает тепло в процессах 1–2 и 2–3, во втором — в процессе 1–3. Поэтому \[\frac{\eta_2}{\eta_1}=\frac{Q_{12}+Q_{23}}{Q_{13}}.\] Из уравнения Клапейрона–Менделеева температуры в состояниях 1, 2, 3: \[T_1=\frac{p_0V_0}{\nu R},\qquad T_2=\frac{3p_0V_0}{\nu R}=3T_1,\qquad T_3=\frac{3p_0\cdot5V_0}{\nu R}=15T_1.\] Молярные теплоёмкости одноатомного газа: \(c_V=\dfrac{3}{2}R\), \(c_p=\dfrac{5}{2}R\). Тогда \[Q_{12}=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)=3\nu RT_1,\qquad Q_{23}=\frac{5}{2}\nu R(T_3-T_2)=30\nu RT_1.\] Тепло во втором цикле по первому закону термодинамики равно сумме изменения внутренней энергии и работы газа: \[Q_{13}=\Delta U+A=\frac{3}{2}\nu R(T_3-T_1)+\frac{1}{2}(5V_0-V_0)(p_0+3p_0)=\frac{3}{2}\nu R\cdot14T_1+8p_0V_0=29\nu RT_1.\] Подставляя, получаем \[\frac{\eta_2}{\eta_1}=\frac{Q_{12}+Q_{23}}{Q_{13}}=\frac{33}{29}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.