Охлаждение намагниченной спиновой решетки

Часть II. «Однажды в параллельной Вселенной». Действие происходит в параллельной Вселенной, открытой для нас Айзеком Азимовым (см. серию рассказов «Я, робот»). Там тоже идёт 2024 год, но там ещё в XX веке был создан позитронный мозг, по своим возможностям не уступающий человеческому, создатель которого заложил в его физическую конструкцию три Закона Робототехники. Впрочем, это не имеет прямого отношения к нашим задачам. Итак, приступим…

Сьюзен Кэлвин сидела в кабинете доктора Альфреда Лэннинга, когда туда зашёл Грегори Пауэлл. — В информационной ленте мира, из которого выходил на контакт этот астрофизик… — начал он. — Азимов. — терпеливо подсказал ему доктор Лэннинг. — Да! — торопливо проговорил Пауэлл. — Там дали Нобелевскую премию по физике за машинное обучение! — Машинное обучение? — оживилась Сьюзен Кэлвин. — Быть может, это похоже на наш эксперимент, когда мы на начальном этапе обучаем группу роботов так, как когда-то обучали детей в школе, и только потом используем прямую загрузку информации? — Вряд ли, — сказал доктор Лэннинг. — Не забывайте, их машины снабжены электронными мозгами, работающими в основном по классическим принципам: максимум — туннельные переходы и спинтроника. Но я и сам когда-то начинал с попыток смоделировать нейронную сеть системой взаимодействующих квантовых частиц, и один из их лауреатов делал то же самое, только у него была модель спиновой решётки. — Спиновая решётка? — переспросил Пауэлл. — Что это за штука? — Но Вы должны знать: это система закреплённых частиц, каждая из которых — элементарный магнитик с моментом \(\vec\mu=-\mu_0\vec s\), где атомный магнетон (константа, записывающаяся через элементарный заряд, постоянную Планка и массу электрона) \(\mu_0=\dfrac{eh}{4\pi m}\), знак «минус» связан с тем, что в атомном магнетизме основную роль играют отрицательно заряженные электроны, а безразмерный вектор \(\vec s\) характеризует состояние частицы. В простом случае в магнитном поле с индукцией \(\vec B\) квантовая частица может находиться всего в двух состояниях с проекциями \(s_B\) на направление магнитного поля \(+1\) и \(-1\), а взаимодействиями частиц между собой можно пренебречь. — Тогда у половины частиц этот вектор будет направлен по полю, а у другой половины — против поля, и магнитный момент всей решётки будет равен нулю с точностью до флуктуаций, — важно заметил Пауэлл. — Не торопитесь, — предостерёг его доктор Лэннинг. — Если решётка находится при температуре \(T\), то вероятности реализации разных микросостояний описываются статистикой Больцмана: вероятности иметь каждую из двух проекций \(s_B\) равны \(w(s_B)=C\exp\!\left[-\dfrac{E(s_B)}{kT}\right]\), где \(C\) не зависит от \(s_B\). Кстати, хотя второй из лауреатов, по-моему, не физик, но в одной из его работ тоже использовалась статистика Больцмана. — Но ведь сумма двух вероятностей равна 1? — уточнила Сьюзен Кэлвин. — Да, конечно, — ответил доктор Лэннинг и продолжил: — А энергия этих состояний \(E(s_B)=-(\vec\mu\cdot\vec B)=\mu_0B\cdot s_B\). Так что они вовсе не равновероятны. Кстати, Сьюзен, это может быть неплохой задачкой для Ваших «школьников». Это важно — ведь при производстве позитронного мозга мы используем охлаждение некоторых элементов до низких температур за счёт адиабатического размагничивания решёток магнитных кристаллов, а они в чём-то похожи на спиновые решётки. Только расскажите им про энтропию: им для начала достаточно будет знать, что в термодинамике это функция состояния системы микрочастиц \(S\), бесконечно малое изменение которой связано с количеством теплоты, которое получила система при температуре \(T\): \(dS=\dfrac{1}{T}\,\delta Q\). И сообщите, что для спиновой решётки из \(N\) частиц в магнитном поле \(\vec B\) эта самая энтропия равна \[S(T,B)=S_0(T)-\frac{kN}{2}\left[\frac{e^{\mu_0B/kT}-e^{-\mu_0B/kT}}{e^{\mu_0B/kT}+e^{-\mu_0B/kT}}\right]^2 .\] — А \(S_0(T)\)? — Это энтропия решётки без учёта магнитных свойств — она им, в сущности, не понадобится. Пусть считают, что в нужных им процессах её изменение пренебрежимо мало.

Определите величину \(C\) и найдите вероятности реализации значений \(s_B=\pm1\) при температуре жидкого гелия \(T_0\approx 1{,}9\) К в магнитном поле \(B=10\) Тл. Вычислите среднее значение магнитного момента спиновой решётки из \(N\) частиц при этих значениях температуры и индукции поля. Рассмотрите процесс, в котором эту решётку сначала при постоянной температуре \(T_0\approx 1{,}9\) К намагнитили до создания магнитного поля \(B=10\) Тл, а затем адиабатически размагнитили до магнитного поля «остаточной» намагниченности, которая для этой решётки равна \(B_0=5\) мТл. Какой примерно будет конечная температура решётки? Используйте данные: атомный магнетон \(\mu_0\approx 9{,}27\cdot 10^{-24}\) Дж/Тл; постоянная Больцмана \(k\approx 1{,}38\cdot 10^{-23}\) Дж/К.