Перерезанный провод в цепи

Найдите сопротивление одного резистора по \(R_1\). Затем посмотрите, во сколько раз сопротивление «без последнего резистора» должно измениться, и какая часть цепи при этом должна выпасть.

Рассмотрим участок \(AB\) электрической цепи. Заметим, что он состоит из набора последовательно и параллельно соединённых звеньев.

Пронумеруем резисторы слева направо, начиная с верхнего ряда, так, как показано на рисунке. Обозначим сопротивление каждого из резисторов, из которых состоит участок цепи, через \(R\), и выразим общее сопротивление через \(R\). Будем двигаться вдоль участка цепи слева направо.

Резисторы №1 и №5 соединены параллельно, их общее сопротивление равно \(R/2\). Затем последовательно к ним подсоединён резистор №2, что даёт общее сопротивление \(3R/2\). Далее к ним параллельно подключены два последовательно соединённых резистора №6 и №7, с их учётом сопротивление равно \(\dfrac{(3R/2)\cdot 2R}{(3R/2) + 2R} = \dfrac{6R}{7}\). Добавляя последовательно соединённый резистор №3, получим сопротивление \(13R/7\). Далее параллельно к полученному участку подсоединяются три последовательно включённых резистора №8, №9 и №10, что даёт сопротивление \(\dfrac{(13R/7)\cdot 3R}{(13R/7) + 3R} = \dfrac{39R}{34}\). Наконец, путём последовательного подключения резистора №4, получим сопротивление всего участка цепи: \[R_{AB} = \frac{39R}{34} + R = \frac{73R}{34} = R_1\] (согласно условию, оно равно \(R_1 = 219\) Ом). Отсюда \(R = 102\) Ом.

Вычислим отношение \(\dfrac{R_2}{R} = \dfrac{255}{102} = \dfrac{5}{2}\). Заметим, что резистор №4 добавляет к общему сопротивлению участка \(AB\) сопротивление \(R\). Если этот резистор мысленно удалить, то сопротивление оставшегося участка цепи будет превышать \(R\) в \(\dfrac{R_2 - R}{R} = \dfrac{3}{2}\) раза. Следовательно, участок цепи, который остаётся после мысленного удаления резистора №4, после перерезания одного провода может состоять, например, из двух параллельно соединённых ветвей, каждая из которых содержит три последовательно включённых резистора. Обратим внимание на параллельные ветви цепи с резисторами №6, №7, №3 и №8, №9, №10. Сопротивление этих двух ветвей без резисторов №1, №2 и №5 равно как раз \(3R/2\).

Таким образом, для удовлетворения условию задачи нужно исключить резисторы №1, №2 и №5 путём перерезания одного провода. Следовательно, Вася мог перерезать провод возле резистора №2 с любой из сторон от него (соответствующие места показаны на рисунке крестиками).