Охотник на воздушном шаре

Запишите координаты утки и пули как функции времени от момента выстрела. Условие попадания — совпадение обеих координат. Скорость пули считайте большой по сравнению со скоростью утки и подъёмом шара.

\(\alpha=\dfrac12\arcsin\dfrac{gL}{v^2}\) (возможен и второй корень \(\alpha=90^\circ-\dfrac12\arcsin\dfrac{gL}{v^2}\)); время полёта \(t\approx\dfrac{L}{v\cos\alpha}\).

Выберем направление движения утки (от охотника или к нему; знак «\(\pm\)»). Момент выстрела примем за \(t=0\). Координаты утки: \(x_{ут}(t)=L\pm ut\), \(y_{ут}(t)=h\).

В неподвижной системе отсчёта пуля имеет начальные скорости \(v_x=v\cos\alpha\) и \(v_y=v\sin\alpha+v_0\) (второе слагаемое — подъём охотника вместе с шаром). Координаты пули: \(x_п(t)=v\cos\alpha\cdot t\), \(y_п(t)=h+(v\sin\alpha+v_0)t-\dfrac{gt^2}{2}\).

Условие попадания \(x_п(t)=x_{ут}(t)\), \(y_п(t)=y_{ут}(t)\). По горизонтали \(v\cos\alpha\cdot t=L\pm ut\), откуда $$t=\dfrac{L}{v\cos\alpha\mp u}.$$ По вертикали \((v\sin\alpha+v_0)\,t=\dfrac{gt^2}{2}\), или $$(v\sin\alpha+v_0) L=\dfrac{gL^2}{2(v\cos\alpha\mp u)},  2(v\sin\alpha+v_0)(v\cos\alpha\mp u)=gL.$$ При \(v\gg u\) и \(v\gg v_0\) получаем \(2v^2\sin\alpha\cos\alpha=gL\), то есть \(v^2\sin2\alpha=gL\), откуда $$\alpha=\dfrac12\arcsin\dfrac{gL}{v^2},$$ а время полёта \(t\approx\dfrac{L}{v\cos\alpha}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.