Брусок на полоске материала

Пока часть бруска ещё на гладкой части плоскости, трения нет, а сила трения на полоске пропорциональна доле бруска на ней. Запишите уравнение движения для этой доли и найдите время до остановки через период колебаний.

\(\mu=\dfrac{\pi^2c}{g\,t^2\cos\alpha}\).

Второй закон Ньютона и условие равновесия по нормали в проекциях на ось вдоль плоскости и перпендикулярно ей: $$ma=-F_{тр}\dfrac{x}{c}+mg\sin\alpha,  N=mg\cos\alpha.$$ Здесь учтено, что в момент движения часть бруска ещё находится на гладкой плоскости (трения там нет), а часть бруска \(x/c\) уже лежит на шероховатом материале; габариты \(a\) и \(b\) на движение не влияют. Так как брусок движется, \(F_{тр}=\mu N\). Объединяя три уравнения, $$a=-\mu g\cos\alpha\cdot\dfrac{x}{c}+g\sin\alpha.$$ Это уравнение гармонических колебаний со смещённым положением равновесия; слагаемое \(g\sin\alpha\) на частоту не влияет. Угловая частота $$\omega^2=\dfrac{\mu g\cos\alpha}{c}.$$ Смещение бруска за всё время движения меньше \(4c/5\), поэтому от начала до полной остановки проходит половина периода колебаний (покой — разгон — максимальная скорость — торможение — остановка): $$t=\dfrac{T}{2}=\dfrac{2\pi}{2\omega}=\pi\sqrt{\dfrac{c}{\mu g\cos\alpha}}.$$ Отсюда $$\mu=\dfrac{\pi^2c}{t^2g\cos\alpha}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.