Мячик на лестнице к морю

Горизонтальная скорость мячика при ударах не меняется, а при упругом ударе о ступень меняется только знак вертикальной скорости. Выпишите связь между высотами соседних ударов и горизонтальным смещением, затем просуммируйте соотношения по всем ударам.

\(H\approx 90{,}5\) м (по официальному решению \(90{,}4\le H\le 90{,}5\) м).

Пусть \(h_k\) — высота мячика в момент \(k\)-го удара о ступень, \(\delta x_k\) — расстояние точки удара от края ступени (\(\delta x_0=0\)), \(h_0=0\), \(h_n=H\); \(n=100\) — число ударов. Горизонтальная скорость \(v\) постоянна, а вертикальная меняет знак при каждом упругом ударе, поэтому между соседними ударами $$v\left(\sqrt{\dfrac{2h_k}{g}}+\sqrt{\dfrac{2h_{k+1}}{g}}\right)=\dfrac{\sqrt{L^2-H^2}}{H} (h_{k+1}-h_k).$$ Отсюда $$\sqrt{h_{k+1}}-\sqrt{h_k}=v\sqrt{\dfrac{2}{g}} \dfrac{H}{\sqrt{L^2-H^2}+\delta x_k-\delta x_{k+1}}\approx v\sqrt{\dfrac{2}{g}} \dfrac{H}{\sqrt{L^2-H^2}}+v\sqrt{\dfrac{2}{g}} \dfrac{H(\delta x_{k+1}-\delta x_k)}{L^2-H^2}.$$ Складывая равенства для \(k=0,1,\dots,n-1\) и пренебрегая размером отдельной ступени, получаем $$\dfrac{2v^2k^2}{g}H^2=(L^2-H^2) h_k.$$ Принимая \(h_n=H\), находим $$H(n)=-\dfrac{n^2v^2}{g}+\sqrt{\dfrac{n^4v^4}{g^2}+L^2}=\dfrac{L^2}{\dfrac{n^2v^2}{g}+\sqrt{\dfrac{n^4v^4}{g^2}+L^2}},$$ причём чем больше \(n\), тем меньше \(H(n)\). Если последний удар пришёлся на последнюю ступень, то \(H(100)\approx 90{,}5\) м. В общем случае \(H(101)\le H\le H(100)\), то есть \(90{,}4\le H\le 90{,}5\) м: неопределённость последнего удара меньше размера ступени.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.