Заряды на нити и пружине

Запишите закон сохранения энергии системы до разрыва нити: кулоновская энергия, кинетическая энергия вращения и упругая энергия пружины. Для растяжения пружины получится квадратное уравнение, из которого выбирается нужный корень.

Максимальное расстояние \(r_{\max}=l+\Delta l_1\), минимальное \(r_{\min}=l-\Delta l_2\), где $$\Delta l_{1,2}=\dfrac{\pm Kq_1q_2+\sqrt{(Kq_1q_2)^2+ml^4\omega^2K}}{kl}.$$

Закон сохранения энергии системы для момента до разрыва нити (растяжение \(\Delta l\) пружины, при \(\Delta l<0\) — сжатие): $$\dfrac{Kq_1q_2}{l}+\dfrac{ml^2\omega^2}{2}=\dfrac{Kq_1q_2}{l+\Delta l}+\dfrac{k\Delta l^2}{2}.$$ Преобразуем кулоновские слагаемые: $$\dfrac{Kq_1q_2}{l}-\dfrac{Kq_1q_2}{l+\Delta l}=\dfrac{Kq_1q_2 \Delta l}{l+\Delta l}\approx\dfrac{Kq_1q_2 \Delta l}{l}.$$

Отсюда квадратное уравнение $$\Delta l^2-\dfrac{2Kq_1q_2 \Delta l}{kl}-\dfrac{ml^2\omega^2}{K}=0.$$ Его решение (знак «+» — отбор корня, соответствует максимальному растяжению): $$\Delta l=\dfrac{Kq_1q_2+\sqrt{(Kq_1q_2)^2+ml^4\omega^2K}}{kl}.$$ Аналогично для сжатия, когда расстояние между зарядами минимально, знаки кулоновского члена меняются: $$\dfrac{Kq_1q_2}{l}-\dfrac{Kq_1q_2}{l-\Delta l}\approx-\dfrac{Kq_1q_2 \Delta l}{l},  \Delta l=\dfrac{-Kq_1q_2+\sqrt{(Kq_1q_2)^2+ml^4\omega^2K}}{kl}.$$ Тогда максимальное расстояние — \(l+\Delta l_{\max}\), минимальное — \(l-\Delta l_{\min}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.