Схема с идеальными диодами

До замыкания ключа ток может идти только по двум контурам с батарейками, и диоды задают направления токов. После замыкания попробуйте отключить один контур: выберите тот, в котором верхний диод не открывается, и проверьте, что все токи через диоды получились положительными.

До замыкания ключа ток циркулирует по двум контурам, токи \(I_1\) и \(I_2\). Через нижнее сопротивление и нижний диод течёт \(I_1 + I_2\). Законы Кирхгофа дают \(\mathcal{E} = (I_1+I_2)R + I_1 r = (I_1+I_2)R + I_2 r\), откуда \(I_1 = I_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{2R + r} = \dfrac{\mathcal{E}}{4R}\). Первый амперметр показывает ноль, второй — \(I_1 + I_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{2R}\).

После замыкания ключа появляются два новых контура с токами \(I_3\) и \(I_4\). Система уравнений для всех четырёх контуров несовместна: сумма двух токов через диоды должна быть равна нулю, а значит, оба они нулевые. Один из диодов закрыт. Разность потенциалов между точками, где стоит верхний диод, до замыкания равна \(\mathcal{E}/2\), а \(\mathcal{E}_x = \mathcal{E}/6\) меньше, поэтому верхний диод остаётся закрытым, \(I_4 = 0\).

Система для токов \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\) при \(r = 2R\) и \(\mathcal{E}_x = \mathcal{E}/6\): \(2\mathcal{E} = 4R\,I_{12} + 6R\,I_3\), \(\ \mathcal{E}/6 = (I_3 - I_{12})R\), где \(I_{12} = I_1 + I_2\). Решение: \(I_{12} = \dfrac{\mathcal{E}}{10R}\), \(I_3 = \dfrac{4\mathcal{E}}{15R}\). Все токи положительны, значит, предположение верно. Через второй амперметр течёт \(I_{12} + I_3 = \dfrac{11\,\mathcal{E}}{30\,R}\), а через первый, как и раньше, ток не течёт.