Световой зайчик на потолке

Найдите ускорение груза \(m\) вдоль клина по второму закону Ньютона. Затем покажите, что «зайчик» проходит путь, в два раза меньший (с множителем \(\cos\alpha\) в знаменателе), и продифференцируйте по \(\alpha\).

Груз \(m\) поднимается вдоль клина с ускорением \(a = \dfrac{(M - m\sin\alpha)g}{M+m}\). Когда груз проходит путь \(L\) вдоль клина, «зайчик» на потолке смещается на \(L/(2\cos\alpha)\): треугольник «груз–зеркало–зайчик» равнобедренный, углы при основании равны \(\alpha\). Это верно для любого отрезка пути, поэтому скорость и ускорение «зайчика» получаются из скорости и ускорения груза делением на \(2\cos\alpha\): \[a_з = \frac{a}{2\cos\alpha} = \frac{(M - m\sin\alpha)\,g}{2(M+m)\cos\alpha}.\] Минимум ищем по \(\alpha\): производная пропорциональна \(\dfrac{-m\cos^2\alpha + (M - m\sin\alpha)\sin\alpha}{\cos^2\alpha}\) при сокращении на \(M\); она обращается в ноль при \(\sin\alpha = m/M\). При \(\sin\alpha < m/M\) производная отрицательна, при \(\sin\alpha > m/M\) — положительна, значит, это действительно минимум.