Гантель с зарядом в магнитном поле

Перейдите во вращающуюся систему отсчёта, где гантель покоится: сила Лоренца уравновешивает центробежную силу, действующую на каждый шарик. Какие ориентации стержня устойчивы?

Гантель вращается как целое, стержень направлен по радиусу. Сила Лоренца приложена к заряду и тянет его к центру, а центробежные силы приложены к центру масс. Удобно перейти во вращающуюся систему, где гантель покоится: тогда \(\vec F_л + \vec F_{цб} = 0\). Вращение, при котором стержень не направлен по радиусу, неустойчиво: силы разворачивают гантель дальше от радиальной ориентации.

Первый случай: заряд движется по окружности радиуса \(R\), массивный шарик — по окружности радиуса \(R + a\), сила Лоренца притягивает заряд к центру. Тогда \(qBωR = mω^2(R + a)\), откуда \[R = \frac{\omega a}{\omega_0 - \omega}, \qquad \omega_0 = \frac{qB}{m}.\] Решение существует при \(\omega < \omega_0\) и устойчиво.

Второй случай: сила Лоренца отталкивает заряд от центра, масса движется по радиусу \(a - R\). Тогда \(qBωR = mω^2(a - R)\), откуда \[R = \frac{\omega a}{\omega + \omega_0}.\] Это решение существует при любых \(\omega\). При \(\omega > \omega_0\) остаётся только оно (устойчивое), при \(\omega < \omega_0\) появляется и первое. Устойчивость проверяется малым сдвигом \(R \to R + \Delta r\): сила Лоренца должна расти быстрее центробежной, чтобы возвращать гантель к равновесию.