Магнит в кольце и в трубе
7/10Лёня закрепил неподвижно небольшое металлическое кольцо, покрытое изолирующей оболочкой. Затем он взял маленький магнит и пронёс его с постоянной скоростью \(v_0\) сквозь кольцо. Магнит двигался так, что его полюса всё время оставались на оси кольца. В начале и в конце движения магнит был удалён от кольца на большое расстояние. В данном опыте в кольце выделилась теплота \(Q\). Объясните, почему выделилась теплота?
Склеив соосно большое количество точно таких же колец, Лёня собрал длинную трубу, при этом на единицу длины трубы приходилось \(n\) колец. Расположив трубу вертикально, он бросил в неё тот же самый магнит. До какой максимальной скорости разгонится магнит?
Масса магнита \(m\), ускорение свободного падения \(g\). Сопротивлением воздуха пренебречь. Металл кольца не притягивается к магниту. Считайте, что при падении магнит ориентирован относительно колец так же, как в первом опыте: его полюса находятся на оси трубы. Влиянием магнитного поля Земли пренебречь. Взаимоиндукцией колец пренебречь.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаВыделившаяся теплота пропорциональна \(v_0\): ЭДС равна \(-\Phi'(x)\,v_0\). В трубе установившаяся скорость достигается, когда работа силы тяжести на единицу пути равна тепловой мощности.
Ответ\(Q \propto v_0\), точнее \(Q = \dfrac{v_0}{R_0}\displaystyle\int \Phi'^2(x)\,dx\); \(u_{\max} = \dfrac{mg\,v_0}{nQ}\).
РешениеМагнит создаёт через кольцо переменный магнитный поток \(\Phi(x)\), где \(x = v_0 t\). По закону Фарадея ЭДС равна \(\mathcal{E} = -\Phi'(x)\,v_0\), ток в кольце \(I = \mathcal{E}/R_0\), мощность тепла \(w = \mathcal{E}^2/R_0 = \Phi'^2(x)\,v_0^2/R_0\). Интегрируя по времени и заменяя \(v_0\,dt = dx\), получаем \[Q = \frac{v_0}{R_0}\int_{-\infty}^{\infty}\Phi'^2(x)\,dx \sim v_0.\] Значит, теплота на каждом участке пути пропорциональна скорости магнита.
Для трубы: пусть магнит движется с установившейся скоростью \(u\). Каждое кольцо выделяет теплоту \(Qu/v_0\); на пути \(H\) магнит проходит \(nH\) колец, и средняя мощность тепловыделения на единицу длины трубы равна \(W = nQu^2/v_0\). Равномерное движение возможно, когда эта мощность равна мощности силы тяжести \(mgu\): \[\frac{nQu^2}{v_0} = mgu \quad\Rightarrow\quad u_{\max} = \frac{mg\,v_0}{nQ}.\]
Похожие задачи
- Поток по ЭДС Савченко, №11.2.1
- Вихревое E вне цилиндра Савченко, №11.2.2
- Лампочка на кольце у соленоида Савченко, №11.2.3
- B = αt², вихревое E Савченко, №11.2.4
- Две плоскости с \(\dot j\) Савченко, №11.2.5
- Катушка внутри соленоида Савченко, №11.2.6