Треугольник из проволоки на нити

Масса каждой стороны пропорциональна её длине. Разбейте треугольник на части с сосредоточенными массами и найдите, где лежит центр масс: в положении равновесия он находится на одной вертикали с точкой подвеса \(A\).

Обозначим длину боковой стороны треугольника через \(a\), а её массу через \(m\). Из вершины \(C\) опустим перпендикуляр \(CD\) на основание \(AB\); точка \(D\) — середина основания. Длины отрезков \(CD\) и \(AB\) равны: \[CD = a\sin\alpha, \qquad AB = 2a\cos\alpha.\] Так как массы сторон треугольника пропорциональны их длинам, масса основания \(AB\) равна: \[m_1 = 2m\cos\alpha.\] Стянем эту массу в точку \(D\) — центр масс (центр тяжести) основания. Массы \(m\) боковых сторон стянем в их середины — точки \(E\) и \(F\). Эти две массы заменим одной массой \(m_2 = 2m\), расположенной в точке \(G\) — середине средней линии \(EF\). Таким образом, имеем две точечные массы \(m_1\) и \(m_2\), расположенные в точках \(D\) и \(G\). Центр масс треугольника \(H\) совпадает с центром масс этой пары и лежит на отрезке \(DG\). Если треугольник подвешен на нити за вершину \(A\), то в положении равновесия отрезок \(AH\) параллелен вектору ускорения свободного падения \(\vec g\). Условием равновесия является равенство моментов сил \(m_1\vec g\) и \(m_2\vec g\) относительно оси, проходящей через точку \(A\) перпендикулярно плоскости рисунка. Проведём через точку \(H\) прямую, перпендикулярную отрезку \(AH\). Отрезки этой прямой от точки \(H\) до линий действия сил тяжести представляют собой плечи этих сил. На рисунке они обозначены через \(x\) и \(y\). Условие равенства моментов даёт: \[x\,m_1 g = y\,m_2 g \quad\Rightarrow\quad \frac{y}{x} = \frac{m_1}{m_2} = \cos\alpha.\] Далее имеем два подобных прямоугольных треугольника, в которых отрезки \(x\) и \(y\) являются катетами, а отрезки \(DH\) и \(GH\) — гипотенузами: \[\frac{GH}{DH} = \frac{y}{x} = \cos\alpha.\] Кроме того, сумма \(DH + GH\) равна половине высоты \(CD\): \[DH + GH = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}\sin\alpha.\] Из полученных соотношений находим длину отрезка \(DH\) и угол \(\beta\): \[GH = DH\cos\alpha, \qquad DH + DH\cos\alpha = \frac{a}{2}\sin\alpha \quad\Rightarrow\quad DH = \frac{a\sin\alpha}{2(1 + \cos\alpha)},\] \[\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{DH}{AB/2} = \frac{\operatorname{tg}\alpha}{2(1 + \cos\alpha)} \quad\Rightarrow\quad \beta = \alpha - \operatorname{arctg}\!\left[\frac{\operatorname{tg}\alpha}{2(1 + \cos\alpha)}\right] = 19^\circ.\] Следует отметить, что в этой задаче неправильным является решение, основанное на утверждении, что центр масс треугольника лежит в точке пересечения его медиан. Это утверждение справедливо только для случая, когда масса треугольника равномерно распределена по его площади. При неправильном решении имеем \(DH = CD/3\) и \(\beta = \alpha - \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\alpha/3)\). Этот результат совпадает с точным только для равностороннего треугольника; при \(\alpha = 75^\circ\) неправильное решение даёт \(\beta = 24^\circ\).