Четыре пластины с диэлектриком и две батареи

Заряды внешних пластин определяют поля во всех промежутках. Запишите напряжения каждой батареи как сумму напряжений на промежутках между пластинами.

Обозначим через \(q_1\) и \(q_4\) заряды пластин 1 и 4. Тогда заряды пластин 2 и 3 равны соответственно \(-q_4\) и \(-q_1\). Введём поверхностные плотности заряда на пластинах 1 и 4: \[\sigma_1 = \frac{q_1}{S}, \qquad \sigma_4 = \frac{q_4}{S},\] где \(S\) — площадь пластин. Плотности заряда на пластинах 2 и 3 равны \(-\sigma_4\) и \(-\sigma_1\).

Направим ось \(x\) от пластины 1 к пластине 4 и рассмотрим проекцию вектора напряжённости электрического поля на эту ось. Между пластинами 1 и 2 имеем: \[E_{1x} = \frac{1}{2\varepsilon_0\varepsilon}(\sigma_1 + \sigma_4 + \sigma_1 - \sigma_4) = \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0\varepsilon},\] где \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная. Между пластинами 2 и 3: \[E_{2x} = \frac{1}{2\varepsilon_0}(\sigma_1 - \sigma_4 + \sigma_1 - \sigma_4) = \frac{\sigma_1 - \sigma_4}{\varepsilon_0}.\] Между пластинами 3 и 4: \[E_{3x} = \frac{1}{2\varepsilon_0}(\sigma_1 - \sigma_4 - \sigma_1 - \sigma_4) = -\frac{\sigma_4}{\varepsilon_0}.\] Мысленно перенесём положительный пробный заряд \(e\) с пластины 1 на пластину 3 вдоль оси \(x\). Работу \(A\) силы электрического поля можно записать двумя способами: \[A = e(\varphi_1 - \varphi_3) = e(E_{1x}d + E_{2x}d),\] где \(\varphi_1\) и \(\varphi_3\) — потенциалы пластин, \(d\) — расстояние между пластинами. Учитывая, что \(\varphi_1 - \varphi_3 = V_1\), и используя полученные выше выражения для напряжённостей, получаем: \[V_1 = \frac{\sigma_1 d}{\varepsilon_0\varepsilon} + \frac{(\sigma_1 - \sigma_4)d}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad (\varepsilon + 1)\sigma_1 - \varepsilon\sigma_4 = \frac{\varepsilon_0\varepsilon V_1}{d}.\] Перенесём теперь пробный заряд с пластины 2 на пластину 4. Для работы силы электрического поля имеем: \[A = e(\varphi_2 - \varphi_4) = e(E_{2x}d + E_{3x}d).\] Учитывая, что \(\varphi_2 - \varphi_4 = -V_2\), получаем: \[-V_2 = \frac{(\sigma_1 - \sigma_4)d}{\varepsilon_0} - \frac{\sigma_4 d}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad 2\sigma_4 - \sigma_1 = \frac{\varepsilon_0 V_2}{d}.\] Из полученных уравнений находим плотности \(\sigma_1\) и \(\sigma_4\): \[\sigma_1 = \frac{\varepsilon_0\varepsilon(2V_1 + V_2)}{d(\varepsilon + 2)}, \qquad \sigma_4 = \frac{\varepsilon_0[\varepsilon V_1 + (\varepsilon + 1)V_2]}{d(\varepsilon + 2)}.\] Отношение зарядов пластин 4 и 1 равно: \[x = \frac{q_4}{q_1} = \frac{\sigma_4}{\sigma_1} = \frac{\varepsilon V_1 + (\varepsilon + 1)V_2}{\varepsilon(2V_1 + V_2)} = 0{,}64.\]