Гелий и азот: кран между цилиндром и сосудом

Давление в конце совпадает с начальным, так как оно задается равновесием поршня. Для смеси запишите первое начало термодинамики с учетом работы газов на поршень.

Начальное давление газов \(P\) равно конечному давлению газовой смеси и определяется условием равновесия поршня: \[PS = P_0S + mg \quad\Rightarrow\quad P = P_0 + \frac{mg}{S}.\]

Пусть \(V_1\) — начальный объём гелия, \(V\) — объём правого сосуда, \(V_2\) — объём газовой смеси в цилиндре в конечном состоянии. Полный объём конечной газовой смеси равен \(V_2 + V\). Запишем уравнение состояния для гелия, азота и конечной газовой смеси: \[PV_1 = \nu RT_1, \qquad PV = 2\nu RT_2, \qquad P(V_2 + V) = 3\nu RT.\] Запишем первое начало термодинамики: \[0 = \nu\cdot\frac{3}{2}R(T - T_1) + 2\nu\cdot\frac{5}{2}R(T - T_2) + A,\] где \(A\) — работа силы давления газов на поршень. Рассмотрим уравнение баланса энергии для поршня: \[mgh_2 - mgh_1 = A + A_0.\] В левой части имеем приращение механической энергии поршня; \(h_1\) и \(h_2\) — начальное и конечное значения высоты поршня над дном цилиндра, \(A_0\) — работа постоянной силы внешнего давления: \(A_0 = P_0S(h_1 - h_2)\).

Учитывая, что \(V_1 = Sh_1\) и \(V_2 = Sh_2\), имеем: \[A = mgh_2 - mgh_1 - P_0Sh_1 + P_0Sh_2 = (P_0S + mg)h_2 - (P_0S + mg)h_1 = PV_2 - PV_1.\] Выразим первое слагаемое через температуры: \(P(V_2 + V) = 3\nu RT\) дает \(PV_2 = 3\nu RT - PV = 3\nu RT - 2\nu RT_2\). Используя также равенство \(PV_1 = \nu RT_1\), получаем: \[A = 3\nu RT - 2\nu RT_2 - \nu RT_1.\] Подставляя это выражение в первое начало термодинамики, находим конечную температуру газовой смеси: \[0 = \nu\cdot\frac{3}{2}R(T - T_1) + 2\nu\cdot\frac{5}{2}R(T - T_2) + 3\nu RT - 2\nu RT_2 - \nu RT_1,\] \[3(T - T_1) + 10(T - T_2) + 6T - 4T_2 - 2T_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 19T - 5T_1 - 14T_2 = 0,\] \[T = \frac{5T_1 + 14T_2}{19} = 430\text{ К}.\] Рассмотрим теперь перемещение поршня \(x\): \[x = h_1 - h_2 = \frac{PV_1 - PV_2}{PS}.\] Далее имеем: \[PS = P_0S + mg, \qquad PV_1 = \nu RT_1, \qquad PV_2 = 3\nu RT - 2\nu RT_2 = \frac{\nu R(15T_1 + 4T_2)}{19},\] \[PV_1 - PV_2 = \frac{4\nu R(T_1 - T_2)}{19}.\] Отсюда \[x = \frac{4\nu R(T_1 - T_2)}{19(P_0S + mg)} = 8{,}3\text{ см}.\]