Линза и экран в цилиндре с водой

Формула тонкой линзы даёт положение стрелки относительно линзы. Затем для малых углов запишите закон преломления на границе вода—воздух. Луч через оптический центр линзы не преломляется.

Будем считать, что плоская сторона линзы и левый торец цилиндра с водой разделены узким воздушным промежутком шириной \(\delta\). В конечных результатах эту ширину следует положить равной нулю. Найдём сначала расстояние \(d\) от стрелки до линзы. Для этого рассмотрим произвольный луч, испущенный из основания стрелки (точка 1) под малым углом к оптической оси. Если бы не было цилиндра с водой, то, пройдя через линзу, луч пересёк бы оптическую ось в точке 3. Обозначим через \(f\) расстояние от этой точки до линзы. Имеем: \[\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{f}.\]

Реально, справа от линзы луч выходит в воздушный промежуток, падает на границу раздела воздуха и воды в точке 2, преломляется и попадает в точку 4 на экране. Эта точка является изображением основания стрелки. Рассмотрим преломление луча в точке 2. Обозначим через \(\alpha\) и \(\gamma\) углы падения и преломления и запишем закон преломления: \[\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma} = n.\] Угол \(\alpha\) следует считать малым, поскольку только в этом случае справедлива стандартная формула линзы. Из закона преломления следует, что угол \(\gamma\) также мал. Заменяя синусы на углы, получаем: \[\frac{\alpha}{\gamma} = n.\] Обозначим через \(y\) расстояние от оптической оси до точки 2. Тогда \[\alpha \approx \operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{f - \delta}, \qquad \gamma \approx \operatorname{tg}\gamma = \frac{y}{s} \quad\Rightarrow\quad \frac{s}{f - \delta} = n.\] Полагая \(\delta = 0\), получаем: \[\frac{1}{f} = \frac{n}{s}, \qquad \frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{n}{s}.\] Рассмотрим теперь луч, испущенный из верхнего конца стрелки и проходящий через оптический центр линзы (рисунок 2). Обозначим через \(\alpha_1\) малый угол, который этот луч образует с оптической осью. Поскольку луч, идущий через оптический центр тонкой линзы, не преломляется, угол падения этого луча на плоскую границу раздела воздуха и воды также равен \(\alpha_1\). После преломления луч попадает на экран в точку, которая является изображением верхнего конца стрелки. Обозначим через \(\gamma_1\) угол преломления и снова запишем закон преломления для малых углов: \[\frac{\alpha_1}{\gamma_1} = n, \qquad \alpha_1 = n\gamma_1.\] Далее имеем: \[\alpha_1 \approx \operatorname{tg}\alpha_1 = \frac{h}{d}, \qquad \gamma_1 \approx \operatorname{tg}\gamma_1 = \frac{H}{s} \quad\Rightarrow\quad \frac{h}{d} = \frac{nH}{s}.\]

Подставляя сюда найденное выше значение \(1/d\), находим высоту изображения \(H\): \[H = \frac{hs}{nd} = \frac{hs}{n}\left(\frac{1}{F} - \frac{n}{s}\right) = h\left(\frac{s}{nF} - 1\right) = 24{,}5\text{ мм}.\]