Возбуждение ядра при столкновении

Запишите законы сохранения энергии и импульса, а импульсы изобразите треугольником. Угол вылета ограничен условием существования действительного корня квадратного уравнения для отношения импульсов.

Пусть \(\vec p_0\) — начальный импульс ядра \(N_1\), \(\vec p_1\) и \(\vec p_2\) — конечные импульсы ядер. Обозначим через \(E_0\) внутреннюю энергию ядра \(N_2\) до столкновения. Тогда после столкновения внутренняя энергия ядра \(N_2^*\) равна \(E_0 + \Delta E\). Запишем закон сохранения энергии: \[\frac{p_0^2}{2m_1} + E_0 = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + E_0 + \Delta E \quad\Rightarrow\quad 1 = \left(\frac{p_1}{p_0}\right)^2 + \frac{m_1}{m_2}\left(\frac{p_2}{p_0}\right)^2 + \frac{\Delta E}{K_0},\] где \(K_0 = p_0^2/2m_1\) — начальная кинетическая энергия ядра \(N_1\). Обозначим \(n = m_1/m_2\), \(x = \Delta E/K_0\). Тогда \[1 = \left(\frac{p_1}{p_0}\right)^2 + n\left(\frac{p_2}{p_0}\right)^2 + x.\] Запишем закон сохранения импульса: \(\vec p_0 = \vec p_1 + \vec p_2\). Изобразим это равенство в виде треугольника; \(\vartheta\) — угол вылета возбуждённого ядра \(N_2^*\).

По теореме косинусов имеем: \[p_1^2 = p_0^2 + p_2^2 - 2p_0p_2\cos\vartheta \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{p_1}{p_0}\right)^2 = 1 + \left(\frac{p_2}{p_0}\right)^2 - 2\,\frac{p_2}{p_0}\cos\vartheta.\] Получаем: \[(n+1)\left(\frac{p_2}{p_0}\right)^2 - 2\,\frac{p_2}{p_0}\cos\vartheta + x = 0.\] Введём новую переменную \(y = p_2/p_0 > 0\). Для \(y\) имеем квадратное уравнение: \[(n+1)y^2 - 2y\cos\vartheta + x = 0.\] Корни уравнения: \[y = \frac{2\cos\vartheta \pm \sqrt{D}}{2(n+1)}, \qquad D = 4\cos^2\vartheta - 4(n+1)x = 4\left(\cos^2\vartheta - (n+1)x\right).\] Условие существования действительных корней: \[D \ge 0 \quad\Rightarrow\quad |\cos\vartheta| \ge \sqrt{(n+1)x}.\] Очевидно, что \(\sqrt{D} < 2|\cos\vartheta|\). Если \(\cos\vartheta < 0\), то оба корня отрицательны, что противоречит неравенству \(y > 0\). Поэтому \(\cos\vartheta > 0\) и угол \(\vartheta\) острый. Получаем: \[\cos\vartheta \ge \sqrt{(n+1)x}.\] Максимальное значение угла \(\vartheta\) соответствует знаку равенства: \[\cos\vartheta_m = \sqrt{(n+1)x} \quad\Rightarrow\quad \vartheta_m = \arccos\sqrt{(n+1)x} = \arccos\sqrt{8/15} = 43^\circ.\]