Задачи › Пружинный маятник, массивная пружина

Диск на пружинах

  1. Диск на пружинах

    Интернет-олимпиада 2022/23, 9 кл.
    6/10

    Невесомый диск (показан на рисунке серым цветом) закреплён в горизонтальном положении на крестообразной конструкции из невесомых стержней и пружин. К диску прикреплены невесомые стержни, опирающиеся на 16 пружин. Чёрными кружками показаны шарниры, позволяющие стержням вращаться вокруг них в вертикальной плоскости. Плечи у рычагов, к которым крепятся пружины, одинаковы. Пружины прикреплены к ступенькам пирамиды из жёстких тяжёлых дисков (показаны розовым цветом). На рисунке показано сечение конструкции вертикальной плоскостью, проходящей через её центр, такое же сечение расположено перпендикулярно. Если приложить к центру диска силу, направленную вертикально вниз, то пружины деформируются на одинаковую величину.

    Рисунок

    Жёсткость каждой из четырёх самых нижних (красных) пружин \(k_1=39{,}5\) Н/м. Длина каждой пружины \(L=79{,}1\) см. Сверху с высоты \(H=89\) см на диск падает вертикально без вращения кубик массой \(m=18{,}8\) кг так, что его нижняя сторона оказывается ровно в центре диска и абсолютно неупруго ударяется об него (приклеивается). Определите:

    1. Эквивалентную жёсткость \(K\) конструкции.

    2. Значение \(X_{max}\) (по модулю) максимальной деформации верхней (зелёной) пружины после падения кубика.

    3. Максимальную высоту \(H_{max}\), на которую поднимется диск относительно первоначальной (до падения кубика) в процессе возникших колебаний.

    Затуханием колебаний и отклонениями пружин в горизонтальной плоскости можно пренебречь. Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\), число \(\pi=3{,}1416\). Ответы вводите с точностью не хуже \(0{,}1\%\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Из симметрии конструкции найдите, какая сила приходится на каждую из нижних пружин при нагрузке в центре. Для колебаний используйте закон сохранения энергии, а положение равновесия диска с кубиком найдите отдельно.

    Ответ

    1) \(K \approx 1264 \pm 1{,}3\) Н/м;  2) \(X_{max} \approx 67{,}56 \pm 0{,}07\) см;  3) \(H_{max} \approx 38{,}40 \pm 0{,}04\) см.

    Решение

    1. Сила \(F\), приложенная к центру диска вниз, делится на каждом шарнире пополам, поэтому на каждую из четырёх нижних (красных) пружин приходится \(F/32\). Их деформация \(x = F/(32k_1)\) такая же, как у всей конструкции, значит \[K = \frac{F}{x} = 32k_1 = 32 \cdot 39{,}5 \approx 1264~\text{Н/м}.\]

    2. Диск невесомый, поэтому после неупругого удара кубик движется вместе с конструкцией со скоростью \(v_0=\sqrt{2gH}\). От момента удара до максимальной деформации сохраняется механическая энергия: \[\frac{K X_{max}^2}{2} - mg X_{max} = mgH \quad\Rightarrow\quad X_{max} = \frac{mg + \sqrt{(mg)^2 + 2KmgH}}{K} \approx 67{,}56~\text{см}.\]

    3. Положение равновесия с кубиком смещено вниз на \(X_0 = mg/K \approx 14{,}58\) см. Амплитуда колебаний \(A = X_{max} - X_0 \approx 52{,}98\) см, а начальная точка колебаний находится выше положения равновесия на \(X_0\). Наивысшая точка колебаний поднимается над первоначальным положением диска на \[H_{max} = A - X_0 = X_{max} - 2X_0 \approx 38{,}40~\text{см}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх