Сложность 1–10 — наша примерная оценка: 1–2 — одна формула, 3–4 — несколько шагов по стандартной схеме, 5–6 — нужна идея, известная олимпиаднику, 7–8 — нестандартная идея или длинное решение, 9–10 — самые трудные задачи финалов.
Пружины и гири
Имеется: гири №1 и №2 неизвестной массы; две пружины (узкая и широкая); штатив, лапку которого (зажим) можно перемещать, если в ней ничего не закреплено, и в которой можно закреплять пружину, а к ней — подвешивать гирю; линейка; прибор с датчиком координаты. Также имеются гири массой \(150\) и \(200\) г. Если гиря, подвешенная на пружине, касается датчика или стола, пружина выскакивает из зажима штатива. Определите:
массу \(M_1\) гири №1 (в граммах);
коэффициент жёсткости \(K_1\) узкой пружины;
массу \(M_2\) гири №2 (в граммах);
коэффициент жёсткости \(K_2\) широкой пружины.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила упругости уравновешивает вес гири: \(K\,\Delta x = Mg\). Колебания гири на пружине дают второй способ найти жёсткость.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(M_1 = 116{,}1 \pm 3\) г; 2) \(K_1 = 24{,}32 \pm 0{,}4\) Н/м; 3) \(M_2 = 144{,}9 \pm 3\) г; 4) \(K_2 = 8{,}2 \pm 0{,}2\) Н/м.
Пружины и гири
Имеется: гири №1 и №2 неизвестной массы; две пружины (узкая и широкая); штатив, лапку которого (зажим) можно перемещать, если в ней ничего не закреплено, и в которой можно закреплять пружину, а к ней — подвешивать гирю; линейка; прибор с датчиком координаты. Также имеются гири массой \(150\) и \(200\) г. Если гиря, подвешенная на пружине, касается датчика или стола, пружина выскакивает из зажима штатива. Определите:
массу \(M_1\) гири №1 (в граммах);
коэффициент жёсткости \(K_1\) узкой пружины;
массу \(M_2\) гири №2 (в граммах);
коэффициент жёсткости \(K_2\) широкой пружины.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила упругости уравновешивает вес гири: \(K\,\Delta x = Mg\). Колебания гири на пружине дают второй способ найти жёсткость.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(M_1 = 121{,}5 \pm 3\) г; 2) \(K_1 = 20{,}4 \pm 0{,}4\) Н/м; 3) \(M_2 = 153 \pm 3\) г; 4) \(K_2 = 7{,}3 \pm 0{,}2\) Н/м.
Параметры пружинных маятников
Имеются: гири №1 и №2 неизвестной массы; две пружины (узкая и широкая); штатив, лапку которого (зажим) можно перемещать, и в которой можно закреплять пружину, а к ней — подвешивать гирю; линейка; прибор с датчиком координаты. Также имеются гири массой \(50\), \(130\) и \(200\) г. Если гиря, подвешенная на пружине, касается датчика или стола, пружина выскакивает из зажима штатива. Определите:
частоту \(f\) колебаний пружинного маятника, полученного подвешиванием на узкую пружину гири №1;
коэффициент жёсткости \(K_1\) узкой пружины;
массу \(M_1\) гири №1 (в граммах);
равновесную энергию деформации \(E_1\) узкой пружины при подвешивании на неё гири №1;
массу \(M_2\) гири №2 (в граммах);
коэффициент жёсткости \(K_2\) широкой пружины.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(f = 2{,}4666 \pm 0{,}0493\) Гц; 2) \(K_1 = 24{,}495 \pm 0{,}15\) Н/м; 3) \(M_1 = 102 \pm 1{,}5\) г; 4) \(E_1 = 20{,}4 \pm 0{,}5\) мДж; 5) \(M_2 = 153 \pm 3\) г; 6) \(K_2 = 7{,}695 \pm 0{,}15\) Н/м.
Два динамометра и периоды колебаний
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. Определите:
массу груза № 1 (с точностью до десятых);
жёсткость пружины нижнего динамометра (с точностью до десятых);
массу нижнего динамометра (с точностью до десятых);
период \(T\) малых колебаний нижнего динамометра при его небольшом вертикальном отклонении от положения равновесия и при отсутствии трения (с точностью до тысячных).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПериод малых колебаний пружинного маятника зависит от массы колеблющегося тела и жёсткости пружины.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 64 \pm 0{,}8\) г; 2) \(k = 56{,}32 \pm 0{,}8\) Н/м; 3) \(m = 81 \pm 3\) г; 4) \(T = 0{,}358 \pm 0{,}02\) с.
Два динамометра и периоды колебаний
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. Определите:
массу груза № 1 — с точностью до десятых;
жёсткость пружины нижнего динамометра — с точностью до десятых;
массу нижнего динамометра — с точностью до десятых;
чему равен период \(T\) малых колебаний системы при небольшом вертикальном отклонении нижнего динамометра от положения равновесия при отсутствии трения — с точностью до тысячных;
чему равен период \(T_2\) малых колебаний системы при подвешивании к динамометрам груза № 2 при его небольшом вертикальном отклонении от положения равновесия при отсутствии трения — с точностью до тысячных.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 53{,}04 \pm 0{,}8\) г; 2) \(k = 63{,}12 \pm 0{,}8\) Н/м; 3) \(m = 114{,}9 \pm 3\) г; 4) \(T = 0{,}426 \pm 0{,}02\) с; 5) \(T_2 = 0{,}314 \pm 0{,}02\) с.
Нитяной маятник
Шарик массой \(M=1{,}5\) кг прикреплён к нити длиной \(L=1{,}46\) м. Шарик отклонили на некоторый угол от вертикали, и он начал совершать колебания в вертикальной плоскости. Оказалось, что ускорения шарика в нижней и верхней точках одинаковы по модулю. Вычислите:
энергию колебаний шарика \(E\);
минимальную силу натяжения нити \(F_1\);
максимальную силу натяжения нити \(F_2\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(E = 8{,}584 \pm 0{,}04\) Дж; 2) \(F_1 = 8{,}82 \pm 0{,}04\) Н; 3) \(F_2 = 26{,}46 \pm 0{,}1\) Н.
Два динамометра и периоды колебаний
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. Определите:
Массу груза № 1 — с точностью до десятых.
Жёсткость пружины нижнего динамометра — с точностью до десятых.
Массу нижнего динамометра — с точностью до десятых.
Период \(T\) малых колебаний нижнего динамометра при его небольшом вертикальном отклонении от положения равновесия и при отсутствии трения — с точностью до тысячных.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), число \(\pi=3{,}1416\). К грузу, подвешенному к динамометру, можно подцеплять снизу другие грузы.
В калькуляторе BARSIC можно использовать математические выражения вида \(1{,}5/(2\pi+7)\) и т.п., возведение в степень \((2\pi+7)^3\) и извлечение квадратного корня \(\sqrt{2\pi+7}\) или, что то же, \((2\pi+7)^{0{,}5}\). Также можно использовать тригонометрические функции \(\sin(2\pi+7)\), \(\cos(2\pi+7)\), \(\operatorname{tg}(2\pi+7)\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПериод малых колебаний пружинного маятника зависит от жёсткости пружины и колеблющейся массы. Масса самой пружины тоже участвует в колебаниях, и её нужно учесть.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 52 \pm 0{,}8\) г; 2) \(k = 58{,}96 \pm 0{,}8\) Н/м; 3) \(m = 90 \pm 3\) г; 4) \(T = 0{,}376 \pm 0{,}02\) с.
Два динамометра и периоды колебаний
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. Определите:
Массу груза № 1 — с точностью до десятых.
Жёсткость пружины нижнего динамометра — с точностью до десятых.
Массу нижнего динамометра — с точностью до десятых.
Чему равен период \(T\) малых колебаний системы при небольшом вертикальном отклонении нижнего динамометра от положения равновесия при отсутствии трения — с точностью до тысячных.
Чему равен период \(T_2\) малых колебаний системы при подвешивании к динамометрам груза № 2 при его небольшом вертикальном отклонении от положения равновесия при отсутствии трения — с точностью до тысячных.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРастяжение пружины под грузом даёт силу тяжести; по двум положениям равновесия найдите жёсткость и массы. Период малых колебаний зависит от жёсткости и колеблющейся массы.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 62 \pm 0{,}8\) г; 2) \(k = 53{,}44 \pm 0{,}8\) Н/м; 3) \(m = 102 \pm 3\) г; 4) \(T = 0{,}402 \pm 0{,}02\) с; 5) \(T_2 = 0{,}332 \pm 0{,}02\) с.
Игрушка для Барсика
Из девяти одинаковых пружин, жёсткостью \(K=7\) Н/м и маленького мячика массой \(M=52\) г хозяин сделал для Барсика игрушку. Массой соединительных планок можно пренебречь. Определите:
Деформацию \(X\) трёх средних (красных) пружинок в случае, когда шарик висит неподвижно.
Период \(T\) колебаний мячика.
Энергию \(E\) колебаний системы, если мячик колеблется с амплитудой \(A=9{,}6\) см.
С какой точностью \(Y\) можно определить с помощью такой системы пружин массу грузика, если в распоряжении есть линейка с ценой деления 1 мм.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите эффективную жёсткость системы пружин для колебаний мячика: соединения пружин в ветвях меняют жёсткость.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X = 2{,}431 \pm 0{,}11\) см; 2) \(T = 0{,}9889 \pm 0{,}011\) с; 3) \(E = 9{,}68 \pm 0{,}11\) мДж; 4) \(Y = 0{,}1067 \pm 0{,}011\) г.
Два груза и пружина
К концам невесомой пружины жёсткостью \(K = 66\) Н/м присоединены две невесомые нити, одна из них перекинута через невесомый блок, который может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси, к свободным концам нитей привязаны два одинаковых груза массой \(M = 3{,}17\) кг каждый. Грузы находятся на одной высоте (см. рис.). Правый груз опускают на \(X = 31\) см вниз, удерживая при этом левый, а затем одновременно отпускают оба груза и в этот же момент начинают отсчёт времени. В системе возникают колебания. Определите:
через какой минимальный интервал времени \(T_1\) правый груз окажется на максимальной высоте;
через какой минимальный интервал времени \(T_2\) левый груз окажется на минимальной высоте;
максимальную кинетическую энергию системы в процессе колебаний \(E_k\);
максимальную скорость левого груза в процессе колебаний \(V_{max}\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПружина связывает грузы, поэтому их колебания происходят около положения равновесия системы; в момент отпускания пружина растянута.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(T_1 = 0{,}4868 \pm 0{,}002\) с; 2) \(T_2 = 0{,}9736 \pm 0{,}002\) с; 3) \(E_k = 3{,}172 \pm 0{,}02\) Дж; 4) \(V_{max} = 1 \pm 0{,}02\) м/с.
Диск и шайба
Упругий невесомый стержень подвешен к потолку так, что нижний его конец находится на высоте \(Y_1 = 1{,}9\) м от пола, коэффициент жёсткости стержня \(K = 500\) Н/м. К нижнему концу стержня прикрепили диск массой \(M = 6{,}1\) кг. После затухания колебаний на диск упала шайба, которую удерживали на высоте \(h = 0{,}8\) м над его поверхностью, и приклеилась к нему. Масса шайбы \(m = 2{,}3\) кг. Определите:
количество теплоты, которое выделится при ударе шайбы о диск (\(Q\));
амплитуду колебаний диска с шайбой (\(A\));
максимальную скорость шайбы и диска в процессе колебаний (\(V_{max}\));
на какую максимальную высоту относительно пола \(Y_2\) поднимется нижний конец стержня в процессе колебаний шайбы и диска.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУдар неупругий: часть энергии уходит в тепло; дальше колебания происходят около нового положения равновесия.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(Q = 13{,}09 \pm 0{,}17\) Дж; 2) \(A = 0{,}1476 \pm 0{,}003\) м; 3) \(V_{max} = 1{,}139 \pm 0{,}023\) м/с; 4) \(Y_2 = 1{,}883 \pm 0{,}038\) м.
Два динамометра и периоды колебаний
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. Определите:
массу груза № 1 — с точностью до десятых;
жёсткость пружины нижнего динамометра — с точностью до десятых;
массу нижнего динамометра — с точностью до десятых;
чему равен период \(T\) малых колебаний системы при небольшом вертикальном отклонении нижнего динамометра от положения равновесия при отсутствии трения — с точностью до тысячных;
чему равен период \(T_2\) малых колебаний системы при подвешивании к динамометрам груза № 2 при его небольшом вертикальном отклонении от положения равновесия при отсутствии трения — с точностью до тысячных.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 61{,}04 \pm 0{,}8\) г; 2) \(k = 63{,}12 \pm 0{,}8\) Н/м; 3) \(m = 114{,}9 \pm 3\) г; 4) \(T = 0{,}426 \pm 0{,}02\) с; 5) \(T_2 = 0{,}314 \pm 0{,}02\) с.
Найдите период колебаний системы
Два шарика, массами \(m_1=160\) г и \(m_2=260\) г, лежат на гладком горизонтальном столе. Шарики связаны невесомой пружиной жёсткостью \(140\) Н/м. Первоначально система неподвижна, а величина деформации пружины составляет \(1{,}8\) см. Систему отпускают, не сообщая шарикам начальной скорости. Считая возникающие колебания малыми, найдите:
период колебаний системы с точностью до тысячных;
максимальную кинетическую энергию первого шара в миллиджоулях с точностью до сотых;
максимальную кинетическую энергию второго шара в миллиджоулях с точностью до сотых;
отношение максимального смещения первого шара к максимальному смещению второго шара (смещение отсчитывается от положения соответствующего шара при недеформированной пружине) с точностью до сотых.
Гравитационным взаимодействием шаров можно пренебречь. Считать, что число \(\pi=3{,}1416\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУдобно перейти к приведённой массе: два шарика на пружине ведут себя как один шарик с этой массой; импульс системы сохраняется и равен нулю.
Период колебаний системы
Два шарика, массами \(m_1=160\) г и \(m_2=260\) г, лежат на гладком горизонтальном столе. Шарики связаны невесомой пружиной жёсткостью \(140\) Н/м. Первоначально система неподвижна, а величина деформации пружины составляет \(1{,}8\) см. Систему отпускают, не сообщая шарикам начальной скорости. Считая возникающие колебания малыми, найдите:
период колебаний системы с точностью до тысячных;
максимальную кинетическую энергию первого шара в миллиджоулях с точностью до сотых;
максимальную кинетическую энергию второго шара в миллиджоулях с точностью до сотых;
отношение максимального смещения первого шара к максимальному смещению второго шара (смещение отсчитывается от положения соответствующего шара при недеформированной пружине) с точностью до сотых.
Гравитационным взаимодействием шаров можно пренебречь. Считать, что число \(\pi=3{,}1416\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИмпульс системы равен нулю, поэтому смещения шаров и их кинетические энергии обратно пропорциональны массам; период определяется приведённой массой.
Два динамометра и периоды колебаний
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. Определите:
Массу груза № 1 — с точностью до десятых.
Жёсткость пружины нижнего динамометра — с точностью до десятых.
Массу нижнего динамометра — с точностью до десятых.
Период \(T\) малых колебаний системы при небольшом вертикальном отклонении нижнего динамометра от положения равновесия и при отсутствии трения — с точностью до тысячных.
Период \(T_2\) малых колебаний системы при подвешивании к динамометрам груза № 2 при его небольшом вертикальном отклонении от положения равновесия и при отсутствии трения — с точностью до тысячных.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), число \(\pi=3{,}1416\). К грузу, подвешенному к динамометру, можно подцеплять снизу другие грузы.
В калькуляторе BARSIC можно использовать математические выражения вида \(1{,}5/(2\pi+7)\) и т.п., возведение в степень \((2\pi+7)^3\) и извлечение квадратного корня \(\sqrt{2\pi+7}\) или, что то же, \((2\pi+7)^{0{,}5}\). Также можно использовать тригонометрические функции \(\sin(2\pi+7)\), \(\cos(2\pi+7)\), \(\operatorname{tg}(2\pi+7)\) и обратные тригонометрические функции \(\arcsin(1/2)\), \(\arccos(0{,}5)\), \(\operatorname{arctg}(0{,}5)\) и т.д.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПериод малых колебаний пружинного маятника зависит от жёсткости пружины и колеблющейся массы; масса самой пружины тоже участвует в колебаниях. Для периода с грузом № 2 сравните систему с грузом и без него.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 58 \pm 0{,}8\) г; 2) \(k = 57{,}84 \pm 0{,}8\) Н/м; 3) \(m = 93 \pm 3\) г; 4) \(T = 0{,}384 \pm 0{,}02\) с; 5) \(T_2 = 0{,}308 \pm 0{,}02\) с.
Два груза и пружина
К концам невесомой пружины жёсткостью \(K = 66\) Н/м присоединены две невесомые нити, одна из них перекинута через невесомый блок, который может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси, к свободным концам нитей привязаны два одинаковых груза массой \(M = 3{,}17\) кг каждый. Грузы находятся на одной высоте (см. рис.). Правый груз опускают на \(X = 31\) см вниз, удерживая при этом левый, а затем одновременно отпускают оба груза и в этот же момент начинают отсчёт времени. В системе возникают колебания. Определите:
через какой минимальный интервал времени \(T_1\) правый груз окажется на максимальной высоте;
через какой минимальный интервал времени \(T_2\) левый груз окажется на минимальной высоте;
максимальную кинетическую энергию системы в процессе колебаний \(E_k\);
максимальную скорость левого груза в процессе колебаний \(V_{max}\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПружина связывает грузы, поэтому их колебания происходят около положения равновесия системы; в момент отпускания пружина растянута.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(T_1 = 0{,}4868 \pm 0{,}002\) с; 2) \(T_2 = 0{,}9736 \pm 0{,}002\) с; 3) \(E_k = 3{,}172 \pm 0{,}02\) Дж; 4) \(V_{max} = 1{,}00 \pm 0{,}02\) м/с.
Грузы на линейной и нелинейной пружинах
Имеется: неподписанная синяя гиря неизвестной массы; чёрная невесомая обычная пружина, у которой возвращающая сила при отклонении \(x\) от недеформированного состояния пружины \(F_1 = -k_1 x\); синяя нелинейная пружина, у которой возвращающая сила при отклонении \(x\) от недеформированного состояния пружины \(F_2 = -k_1 x - k_2 x^2\); штатив, в лапку которого (зажим) можно закреплять пружину, а к ней — подвешивать гирю; прибор с датчиком координаты. Также имеются гири различной массы, масса гирь указана в граммах. Определите:
коэффициент упругости пружины \(k_1\);
коэффициент нелинейности пружины \(k_2\);
величину \(X_1\) упругой деформации чёрной пружины в состоянии равновесия после подвешивания на неё синей гири;
массу \(M\) синей гири;
энергию \(E\) (в миллиджоулях) упругой деформации чёрной пружины в состоянии равновесия после подвешивания на неё синей гири;
работу \(A\) (в миллиджоулях), которую совершит сила тяжести, если из этого состояния равновесия снять синюю гирю с крючка, поставить на стол, сменить чёрную пружину на синюю и повесить синюю гирю на синюю пружину в состояние равновесия получившейся системы;
частоту \(f\) малых колебаний синей гири на синей пружине около положения равновесия.
\(k_1\) и \(X_1\) определите с точностью до сотых, \(f\) — с точностью до тысячных, остальные величины — с точностью до десятых. Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\), число \(\pi = 3{,}1416\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля синей пружины условие равновесия гири: \(Mg = k_1 X + k_2 X^2\). Энергия упругой деформации \(kX^2/2\) для линейной пружины; работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии гири.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_1 = 17{,}4 \pm 0{,}05\) Н/м; 2) \(k_2 = 74 \pm 0{,}4\) Н/м\(^2\); 3) \(X_1 = 21{,}12 \pm 0{,}08\) см; 4) \(M = 375 \pm 1{,}5\) г; 5) \(E = 388 \pm 2{,}5\) мДж; 6) \(A = -282{,}25 \pm 2{,}5\) мДж; 7) \(f = 1{,}587 \pm 0{,}005\) Гц.
Сигналы над водой
Два корабля движутся по прямой навстречу друг другу. Первый корабль испускает звуковой сигнал в течение \(t_0=450\) с навстречу второму кораблю. Второй корабль принимает его в течение \(t_{пр1}=401{,}33\) с, а через некоторое время и первый корабль принимает отражённый от корпуса второго корабля сигнал за \(t_{пр2}=359{,}75\) с. Скорость звука \(V_{зв}=332\) м/с. Определите:
расстояние \(L_1\) между началом и концом распространявшегося в воздухе испущенного импульса;
расстояние \(L_2\) между началом и концом распространявшегося в воздухе отражённого от второго корабля импульса;
скорость \(V_1\) первого корабля относительно воды;
скорость \(V_2\) второго корабля относительно воды;
какой по длительности сигнал \(t_{пр3}\) принял бы первый корабль, если бы импульс длительностью \(t_0\) испустил второй корабль.
В ответ расстояния вводите с точностью до 10 м, остальные величины с точностью до одного процента. В промежуточных вычислениях оставляйте не менее четырёх значащих цифр.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРасстояние между фронтом и концом импульса — это путь, который за время испускания проходит сигнал относительно неподвижной воды, с учётом движения источника. Сравните моменты испускания и приёма.
Маятник в электрическом поле
На нити длиной \(L=1{,}1\) м внутри плоского конденсатора подвешен маленький шарик массой \(m=23{,}8\) г, имеющий положительный заряд \(q=29\) мкКл. Между обкладками конденсатора создано однородное электрическое поле напряжённостью \(E=320\) В/м, направленное вертикально вверх. В начальный момент времени маятник отклоняют от положения равновесия на угол \(\alpha=12\) градусов и отпускают (см. рисунок). Когда маятник проходит вертикаль и попадает в левую часть конденсатора, поле отключают, а когда он возвращается в правую часть конденсатора, поле восстанавливают. Поэтому можно считать, что в правой половине конденсатора имеется однородное электрическое поле напряжённостью \(E\), а в левой половине его нет. На соответствующих участках траектории колебания считать гармоническими. Определите:
период колебаний маятника \(T\);
максимальный угол отклонения шарика в левой половине конденсатора;
ускорение шарика \(a\) в момент его максимального отклонения в этой области.
Ответы вводите с точностью до сотых. Число \(\pi\) примите равным \(3{,}1416\), ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ правой половине на шарик действует сила тяжести и сила поля, направленная вверх; их равнодействующая уменьшает эффективное ускорение свободного падения. В левой половине поля нет, и маятник колеблется с периодом обычного маятника.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(T = 2{,}1263 \pm 0{,}011\) с; 2) \(\alpha' = 11{,}76 \pm 0{,}05\) градусов; 3) \(a = 1{,}9965 \pm 0{,}011\) м/с\(^2\).
Колесо на пружине
По ободу тонкого кольца массой \(m = 10{,}2\) кг и радиусом \(R = 47\) см сделан паз, внутрь которого вставлен трос. При движении троса колесо поворачивается без проскальзывания. Один конец троса закреплён на потолке, второй — присоединён к пружине жёсткостью \(k = 390\) Н/м. Сначала колесо удерживают неподвижным, прикладывая некоторую силу в точке \(A\), чтобы пружина не была деформированной, затем отпускают. В системе возникают колебания. Потерями механической энергии можно пренебречь. Определите:
величину силы \(F\), которую надо было прикладывать к точке \(A\);
величину максимальной деформации пружины \(\Delta X\) в процессе движения колеса;
скорость \(V\) центра колеса, когда он в первый раз пройдёт положение равновесия;
максимальную угловую скорость \(\omega_{\max}\) вращения колеса вокруг оси, проходящей через его центр, перпендикулярно его плоскости;
полную кинетическую энергию \(E\) колеса, когда его центр опустился на расстояние \(L = 10\) см относительно начального положения.
Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). В ответ первые два числа вводите с точностью до десятых, остальные — с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКинетическая энергия колеса складывается из поступательной и вращательной частей, связанных через радиус \(R\) (трос движется без проскальзывания по пазу). Для первых двух пунктов рассмотрите положение равновесия и крайнее положение системы.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F \approx 49{,}984 \pm 0{,}11\) Н; 2) \(\Delta X \approx 25{,}63 \pm 0{,}11\) см; 3) \(V \approx 0{,}5599 \pm 0{,}011\) м/с; 4) \(\omega_{\max} \approx 1{,}1924 \pm 0{,}011\) рад/с; 5) \(E \approx 2{,}1956 \pm 0{,}011\) Дж.
Диск на пружинах
Невесомый диск (показан на рисунке серым цветом) закреплён в горизонтальном положении на крестообразной конструкции из невесомых стержней и пружин. К диску прикреплены невесомые стержни, опирающиеся на 16 пружин. Чёрными кружками показаны шарниры, позволяющие стержням вращаться вокруг них в вертикальной плоскости. Плечи у рычагов, к которым крепятся пружины, одинаковы. Пружины прикреплены к ступенькам пирамиды из жёстких тяжёлых дисков (показаны розовым цветом). На рисунке показано сечение конструкции вертикальной плоскостью, проходящей через её центр, такое же сечение расположено перпендикулярно. Если приложить к центру диска силу, направленную вертикально вниз, то пружины деформируются на одинаковую величину.
Жёсткость каждой из четырёх самых нижних (красных) пружин \(k_1=39{,}5\) Н/м. Длина каждой пружины \(L=79{,}1\) см. Сверху с высоты \(H=89\) см на диск падает вертикально без вращения кубик массой \(m=18{,}8\) кг так, что его нижняя сторона оказывается ровно в центре диска и абсолютно неупруго ударяется об него (приклеивается). Определите:
Эквивалентную жёсткость \(K\) конструкции.
Значение \(X_{max}\) (по модулю) максимальной деформации верхней (зелёной) пружины после падения кубика.
Максимальную высоту \(H_{max}\), на которую поднимется диск относительно первоначальной (до падения кубика) в процессе возникших колебаний.
Затуханием колебаний и отклонениями пружин в горизонтальной плоскости можно пренебречь. Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\), число \(\pi=3{,}1416\). Ответы вводите с точностью не хуже \(0{,}1\%\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИз симметрии конструкции найдите, какая сила приходится на каждую из нижних пружин при нагрузке в центре. Для колебаний используйте закон сохранения энергии, а положение равновесия диска с кубиком найдите отдельно.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(K \approx 1264 \pm 1{,}3\) Н/м; 2) \(X_{max} \approx 67{,}56 \pm 0{,}07\) см; 3) \(H_{max} \approx 38{,}40 \pm 0{,}04\) см.
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1. Сила \(F\), приложенная к центру диска вниз, делится на каждом шарнире пополам, поэтому на каждую из четырёх нижних (красных) пружин приходится \(F/32\). Их деформация \(x = F/(32k_1)\) такая же, как у всей конструкции, значит \[K = \frac{F}{x} = 32k_1 = 32 \cdot 39{,}5 \approx 1264~\text{Н/м}.\]
2. Диск невесомый, поэтому после неупругого удара кубик движется вместе с конструкцией со скоростью \(v_0=\sqrt{2gH}\). От момента удара до максимальной деформации сохраняется механическая энергия: \[\frac{K X_{max}^2}{2} - mg X_{max} = mgH \quad\Rightarrow\quad X_{max} = \frac{mg + \sqrt{(mg)^2 + 2KmgH}}{K} \approx 67{,}56~\text{см}.\]
3. Положение равновесия с кубиком смещено вниз на \(X_0 = mg/K \approx 14{,}58\) см. Амплитуда колебаний \(A = X_{max} - X_0 \approx 52{,}98\) см, а начальная точка колебаний находится выше положения равновесия на \(X_0\). Наивысшая точка колебаний поднимается над первоначальным положением диска на \[H_{max} = A - X_0 = X_{max} - 2X_0 \approx 38{,}40~\text{см}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Диск на пружинах
Невесомый диск (показан на рисунке серым цветом) закреплён в горизонтальном положении на крестообразной конструкции из невесомых стержней и пружин. К диску прикреплены невесомые стержни, опирающиеся на 16 пружин. Чёрными кружками показаны шарниры, позволяющие стержням вращаться вокруг них в вертикальной плоскости. Плечи у рычагов, к которым крепятся пружины, одинаковы. Пружины прикреплены к ступенькам пирамиды из жёстких тяжёлых дисков (показаны розовым цветом). На рисунке показано сечение конструкции вертикальной плоскостью, проходящей через её центр, такое же сечение расположено перпендикулярно. Если приложить к центру диска силу, направленную вертикально вниз, то пружины деформируются на одинаковую величину.
Жёсткость каждой из четырёх самых нижних (красных) пружин \(k_1=39{,}5\) Н/м. Длина каждой пружины \(L=79{,}1\) см. Сверху с высоты \(H=89\) см на диск падает вертикально без вращения кубик массой \(m=18{,}8\) кг так, что его нижняя сторона оказывается ровно в центре диска и абсолютно неупруго ударяется об него (приклеивается). Определите:
Эквивалентную жёсткость \(K\) конструкции.
Значение \(X_{max}\) (по модулю) максимальной деформации верхней (зелёной) пружины после падения кубика.
Максимальную высоту \(H_{max}\), на которую поднимется диск относительно первоначальной (до падения кубика) в процессе возникших колебаний.
Затуханием колебаний и отклонениями пружин в горизонтальной плоскости можно пренебречь. Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\), число \(\pi=3{,}1416\). Ответы вводите с точностью не хуже \(0{,}1\%\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИз симметрии конструкции найдите, какая сила приходится на каждую из нижних пружин при нагрузке в центре. Для колебаний используйте закон сохранения энергии, а положение равновесия диска с кубиком найдите отдельно.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(K \approx 1264 \pm 1{,}3\) Н/м; 2) \(X_{max} \approx 67{,}56 \pm 0{,}07\) см; 3) \(H_{max} \approx 38{,}40 \pm 0{,}04\) см.
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1. Сила \(F\), приложенная к центру диска вниз, делится на каждом шарнире пополам, поэтому на каждую из четырёх нижних (красных) пружин приходится \(F/32\). Их деформация \(x = F/(32k_1)\) такая же, как у всей конструкции, значит \[K = \frac{F}{x} = 32k_1 = 32 \cdot 39{,}5 \approx 1264~\text{Н/м}.\]
2. Диск невесомый, поэтому после неупругого удара кубик движется вместе с конструкцией со скоростью \(v_0=\sqrt{2gH}\). От момента удара до максимальной деформации сохраняется механическая энергия: \[\frac{K X_{max}^2}{2} - mg X_{max} = mgH \quad\Rightarrow\quad X_{max} = \frac{mg + \sqrt{(mg)^2 + 2KmgH}}{K} \approx 67{,}56~\text{см}.\]
3. Положение равновесия с кубиком смещено вниз на \(X_0 = mg/K \approx 14{,}58\) см. Амплитуда колебаний \(A = X_{max} - X_0 \approx 52{,}98\) см, а начальная точка колебаний находится выше положения равновесия на \(X_0\). Наивысшая точка колебаний поднимается над первоначальным положением диска на \[H_{max} = A - X_0 = X_{max} - 2X_0 \approx 38{,}40~\text{см}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Два источника звука
Два когерентных точечных источника звука излучают сигнал частоты \(1510\) Гц одинаковой фазы и интенсивности одинаково по всем направлениям. Первый источник закреплён, второй — можно перемещать по окружности радиусом \(R = 51\) см, а приёмник звука находится в центре этой окружности. Когда включили один источник, приёмник зарегистрировал интенсивность звука \(I_0 = 29{,}9\) мкВт/м\(^2\). При включении двух источников одновременно интенсивность сигнала \(I_1 = 89{,}7\) мкВт/м\(^2\). Определите:
На каком расстоянии \(S_1\) друг от друга находятся источники.
На каком минимальном расстоянии \(S_2\) от первоначального положения необходимо разместить второй источник, чтобы интенсивность регистрируемого сигнала стала равна \(I_2 = 59{,}8\) мкВт/м\(^2\).
На каком расстоянии \(S_3\) друг от друга необходимо установить источники, чтобы интенсивность регистрируемого сигнала была одинаковой при работе одного источника или двух одновременно.
Ответы вводите с точностью не хуже одного процента.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИнтенсивность при двух источниках определяется разностью хода волн до приёмника; длина волны \(\lambda = v/f\) с учётом скорости звука в воздухе.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(S_1 = 50{,}98 \pm 0{,}61\) см; 2) \(S_2 = 26{,}39 \pm 0{,}32\) см; 3) \(S_3 = 88{,}3 \pm 1{,}1\) см.
Колебания грузов на линейной и нелинейной пружинах
Имеется: неподписанная синяя гиря неизвестной массы; чёрная невесомая обычная пружина, у которой возвращающая сила при отклонении \(x\) от недеформированного состояния пружины \(F_1 = -k_1 x\); синяя нелинейная пружина, у которой возвращающая сила при отклонении \(x\) от недеформированного состояния пружины \(F_2 = -k_1 x - k_2 x^2\); штатив, в лапку которого (зажим) можно закреплять пружину, а к ней — подвешивать гирю; прибор с датчиком координаты. Также имеются гири различной массы, масса гирь указана в граммах. Определите:
коэффициент упругости пружины \(k_1\);
коэффициент нелинейности пружины \(k_2\);
массу \(M\) синей гири;
энергию \(E\) (в миллиджоулях) упругой деформации чёрной пружины в состоянии равновесия после подвешивания на неё синей гири;
работу \(A\) (в миллиджоулях), которую совершит сила тяжести, если из этого состояния равновесия снять синюю гирю с крючка, поставить на стол, сменить чёрную пружину на синюю и повесить синюю гирю на синюю пружину в состояние равновесия получившейся системы;
частоту \(f\) малых колебаний синей гири на синей пружине около положения равновесия;
частоту \(f_2\) малых колебаний, которая будет у гири массой \(m_2 = 2{,}75\) кг около положения равновесия, если её подвесить на синей пружине достаточно высоко над столом.
\(k_1\) определите с точностью до сотых, \(f\) и \(f_2\) — с точностью до тысячных, остальные величины — с точностью до десятых. Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\), число \(\pi = 3{,}1416\). Экран прибора с датчиком координаты можно увеличивать с помощью лупы или значка максимизатора.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоложение равновесия синей пружины с гирей: \(Mg = k_1 X + k_2 X^2\). Для малых колебаний около положения равновесия эффективная жёсткость равна производной возвращающей силы по деформации.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_1 = 15{,}5 \pm 0{,}05\) Н/м; 2) \(k_2 = 66 \pm 0{,}4\) Н/м\(^2\); 3) \(M = 345 \pm 1{,}5\) г; 4) \(E = 368{,}75 \pm 2{,}5\) мДж; 5) \(A = -272{,}5 \pm 2{,}5\) мДж; 6) \(f = 1{,}572 \pm 0{,}005\) Гц; 7) \(f_2 = 0{,}8888 \pm 0{,}002\) Гц.