Сухой лёд под поршнем
10-2 В теплоизолированном непроницаемом сосуде, закрытом теплонепроницаемым подвижным поршнем массой \(M=100\text{ кг}\) находятся в состоянии теплового равновесия \(4{,}40\text{ г}\) “сухого” льда (твердая углекислота) и \(0{,}10\text{ моля}\) углекислого газа. Сосуд находится в вакууме. Системе сообщается \(2140\text{ Дж}\) теплоты. Определите установившуюся температуру в сосуде, если известно, что поршень поднялся на \(h=4{,}0\text{см}\). Температура сублимации \(CO_2\) \(T_c=194{,}7\text{ К}\), удельная теплота парообразования \(r=16{,}5\text{ кДж}/(\text{К}\cdot\text{моль})\), внутреннюю энергию 1 моля \(CO_2\) считать равной \(U=3RT\). Сообщаемая теплота идет на возгонку, работу по подъему поршня (изобарический процесс) и изменение внутренней энергии газа.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСначала проверьте, хватит ли сообщённой теплоты, чтобы испарить весь сухой лёд; остаток теплоты идёт на нагрев газа при постоянном давлении.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(T\approx 200\text{ К}\) (по официальному решению).
▶РешениеСкрыть: решение
Решение10-2. Определим какое количество теплоты потребуется, чтобы \(\nu_2\) молей твердой углекислоты испарилось в данных условиях. Согласно первому закону термодинамики
\[Q = \nu_2 \mu r + Mgh,\]
где \(\mu\) - молярная масса углекислоты, \(Mgh\) - работа газа по поднятию поршня. Используя уравнение состояния идеального газа, запишем
\[PV_0 = \nu_1 RT_c\]
\[PV_1 = (\nu_1 + \nu_2)RT_c\]
отсюда следует
\[Mgh = P(V_1 - V_0) = \nu_2 RT_c,\]
тогда искомое количество теплоты
\[Q = \nu_2(\mu r + RT_c).\]
Так как не известно, испарится ли весь «сухой лед», подсчитаем какое количество теплоты потребуется для полного его испарения, полагая \(\nu_2 = 0{,}10\) моль (что соответствует 4.4 грамм), получим \(Q \approx 234\) Дж, что меньше, чем подведенное количество теплоты, поэтому весь лед испарится, а оставшееся количество теплоты пойдет на нагревание газа. Запишем еще раз уравнение первого начала термодинамики
\[Q = mr + Mgh + \frac{5}{2}R(\nu_2 + \nu_1)(T - T_c),\]
где \(T\) - конечная температура газа. Совершенную работу найдем с помощью уравнения состояния
\[Mgh = P\Delta V = (\nu_1 + \nu_2)RT - \nu_1 RT_c,\]
Из этих уравнений легко находим
\[T = \frac{Q - mr + \nu_1 RT_c + \frac{5}{2}(\nu_1 + \nu_2)RT_c}{\frac{7}{2}(\nu_1 + \nu_2)R} \approx 200\,K.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Нагреватель и поршень Всесоюзная 1985/86, заключительный этап, 10 кл.
- Число молей при нагреве газа Ведомственная 2010/11, заключительный этап, 10 кл.
- Теплота в процессе на (p,T)-диаграмме Курчатов 2012/13, отборочный этап, 11 кл.
- Изохорный нагрев гелия МОШ 2012/13, отборочный этап, 11 кл.
- Газ под поршнем с грузом МОШ 2013/14, отборочный этап, 7-11 кл.
- Гелий в процессе расширения «Покори Воробьёвы горы!» 2014/15, отборочный этап, 10–11 кл.