Шарики в цепи

Потенциал каждого шарика равен потенциалу точки цепи, к которой он подключён; заряд уединённого шара — ёмкость, умноженная на потенциал. Найдите потенциалы шариков до и после замыкания ключа.

\(\Delta Q = 2\pi\varepsilon_0 r U_0 (N+1)\): суммарный заряд возрастёт (по модулю уменьшится).

10-1. Как следует из схемы цепи до замыкания ключа потенциалы всех шариков относительно бесконечности или относительно заземленной положительной пластины источника питания одинаковы и равны

\[\varphi_1 = \varphi_2 = \ldots = \varphi_{N+1} = -U_0.\tag{1}\]

Учитывая, что емкость уединенного шара

\[C = 4 \pi \varepsilon_0 r\]

(по условию можем считать каждый шарик уединенным), для заряда системы получаем

\[Q = \sum _ { i = 1 } ^ { N + 1 } Q _ { i } = \sum _ { i = 1 } ^ { N + 1 } \left( 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r \varphi _ { i } \right) = 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r \sum _ { i = 1 } ^ { N + 1 } \varphi _ { i } = - 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r U _ { 0 } ( N + 1 ) .\tag{2}\]

После замыкания цепи распределение потенциалов изменится в соответствии с законом Ома. Действительно, ток в цепи

\[I = \frac { U _ { 0 } } { N R }\tag{3}\]

Соответственно, падение напряжения на каждом резисторе

\[U _ { 1 } = I R = \frac { U _ { 0 } } { N }\tag{4}\]

Из (4) следует, что потенциалы шариков будут возрастать на \(U _ { 1 }\) при переходе через каждый резистор

\[-U_0;\ -U_0 + U_0/N;\ -U_0 + 2U_0/N;\ \ldots;\ -U_0/N;\ 0\]

Соответственно, новый заряд

\[Q ^ { * } = \sum _ { i = 1 } ^ { N + 1 } \left( 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r \varphi _ { i } \right) = - 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r \sum _ { i = 1 } ^ { N + 1 } \frac { U _ { 0 } } { N } ( i - 1 ) = - 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r \frac { U _ { 0 } } { N } ( 1 + 2 + . . . + N ) = - 2 \pi \varepsilon _ { 0 } r U _ { 0 } ( N + 1 )\]

Таким образом, искомый заряд изменился на

\[\Delta Q = Q ^ { * } - Q = 2 \pi \varepsilon _ { 0 } r U _ { 0 } ( N + 1 )\tag{5}\]

Как следует из (5) суммарный заряд всех шариков возрастет (но уменьшится по абсолютной величине), что легко объяснить, если

принять во внимание что потенциалы всех шариков за исключением крайнего слева при замыкании ключа возрастут.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.