Жук на грампластинке

В неподвижной системе отсчёта сила трения создаёт ускорение жука; при радиальном движении к центру к центростремительному ускорению добавляется ускорение Кориолиса, равное \(2\omega v\).

4-1) \(\mu\approx 0{,}34\) (по направлению вращения), \(\mu\approx 0{,}16\) (против);  4-2) \(F_{\text{тр}} = ma\approx 9{,}3\cdot 10^{-4}\text{ Н}\), \(a\approx 1{,}86\text{ м/с}^2\), сила направлена вдоль вектора полного ускорения;  4-3) \(A=\dfrac{m\omega^2r^2}{2}\approx 1{,}19\cdot 10^{-4}\text{ Дж}\).

10-4-1. В инерциальной системе отсчета (ИСО) относительно Земли жук движется с угловой скоростью

\[\omega = 2 \pi n \pm \frac{2 \pi}{T} .\]

Где знаки соответствуют движению жука по или против направления вращения пластинки.

Следовательно, его центростремительное ускорение

\[a = \omega^{2} R = \left(2 \pi n \pm \frac{2 \pi}{T}\right)^{2} R\]

Согласно основному закону динамики

\[m a = F_{\text{тр}} = \mu m g \Rightarrow \mu = \frac{a}{g} = \left(2 \pi n \pm \frac{2 \pi}{T}\right)^{2} \frac{R}{g} .\]

Расчеты приводят к следующим значениям: \(0{,}34\) для движения в сторону вращения и \(0{,}16\) для противоположного направления движения.

10-4-2. Ищем ускорение жука в ИСО. Центростремительное ускорение

\[a_{1} = \omega^{2} R_{1} = (2 \pi n)^{2} R_{1} .\]

Вследствие вращения изменяется направление вектора скорости, т.е.

\[\Delta v = v \Delta \varphi = v \omega \Delta t, \quad a_{2} = \omega v .\]

С изменением расстояния изменяется и тангенциальная составляющая скорости, что тоже приводит к появлению соответствующей составляющей ускорения

\[\Delta v = \omega(R + \Delta R) - \omega R = \omega \Delta R, \quad a_{3} = \omega \frac{\Delta R}{\Delta t} = \omega v\]

направленной так же как и \(a_{2}\).

Векторное сложение ускорений позволяет определить полное ускорение

\[a = \sqrt{a_{1}^{2} + \left(a_{2} + a_{3}\right)^{2}} = \sqrt{(2 \pi n)^{4} R_1^{2} + 4 \omega^{2} v^{2}} = 1{,}86 \, \text{м/с}^{2} .\]

Соответственно искомая сила трения равна

\[F_{\text{тр}} = m a = 9{,}3 \cdot 10^{-4} \, \text{Н} .\]

Заметим, что решение данной задачи сводится к вычислению силы Кориолиса.

10-4-3. Для вычисления работы вспомним формулу

\[A = \vec{F} \cdot \vec{S} ,\]

где \(\vec{F}\) - мускульная сила жука. Теперь нужно учесть то, что сила жука при движении постоянно меняется по величине и по

направлению, поэтому предлагается следующий способ вычисления

\[A = \sum_{i} \vec{F}_{i} \cdot \Delta \vec{S}_{i} = \sum_{i} F_{i} \cdot \Delta r_{i} \cdot \cos \alpha_{i} = \sum_{i} \Delta r_{i} \left( F_{i} \cos \alpha_{i} \right) = \left\{ F_{i} \cos \alpha_{i} = m a_{1i} \right\} =\]

\[= \sum_{i} m \omega^{2} r_{i} \Delta r_{i} = m \omega^{2} \sum_{i} r_{i} \Delta r_{i} = m \omega^{2} \frac{r^{2}}{2} = 1{,}19 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.